P1 de Probest da UFRJ - 2014.1

Três pesquisadores pensam, de forma independente, na solução de um problema. Pela experiência e conhecimento de cada pesquisador sabe-se que as probabilidades de encontrar a solução são de para A, de para B e de para C . Calcule a probabilidade:

1. de que o problema seja resolvido;
2. de pelo menos dois dos três pesquisadores resolverem o problema;
3. condicional de B resolver o problema dado que este foi resolvido por pelo menos dois pesquisadores.

Ocorem, em média, 10 desintegrações por minuto numa amostra de material radioativo. Suponhamos que o número, , de desintegrações por minuto seja uma variável aleatória de Poisson e que seja o intervalo de tempo em minutos entre duas desintegrações sucessivas.

(b) Qual é a probabilidade de que em um intervalo de tempo de 6 segundos não haja desintegrações?

Ocorrem, em média, 10 desintegrações por minuto numa amostra de material radioativo. Suponhamos que o número, , de desintegrações por minuto seja uma variável aleatória de Poisson e que seja o intervalo de tempo em minutos entre duas desintegrações sucessivas.

1. Forneça a expressão matemática da função de densidade de ;

Obs.: Lembre-se de que existe uma relação entre os modelos de Poisson e Exponencial.

Ocorem, em média, 10 desintegrações por minuto numa amostra de material radioativo. Suponhamos que o número, , de desintegrações por minuto seja uma variável aleatória de Poisson e que seja o intervalo de tempo em minutos entre duas desintegrações sucessivas.

(c) Suponha que foram testadas independentemente 30 destas amostras e seja o número de amostras para as quais não houve desintegrações antes de 6 segundos. Forneça a expressão matemática da função de probabilidade de , a esperança de e a variância de . Calcule também, usando a aproximação pela lei Normal, .

Um pequeno restaurante tem uma receita diária - da qual já foi descontado o gasto com ingredientes - cuja média é de 800 reais e cujo desvio padrão é de 300 reais. A despesa mensal do restaurante com mão de obra, encargos, manutenção, etc., é da ordem de 12.000 reais.

1. Se ele funciona na base de 25 dias por mês, qual a probabilidade de que esse negócio dê um lucro de pelo menos 7.000 reais por mês?
2. Digamos que, em um determinado mês, o restaurante só vai ficar aberto durante 20 dias. Mas, ainda assim, deseja-se manter a meta de um lucro mínimo de 7.000 reais. Para quanto deveria aumentar a média da receita diária para que nesse mês, uma vez mantido o desvio padrão da receita diária em 300 reais, essa meta fosse atingida com probabilidade 95%?

Obs.: Admita que em ambos os casos o tamanho amostral é suficientemente grande para que seja válida a aproximação fornecida pelo Teorema Central do Limite.

Em um determinado jogo, um jogador vendado tem direito a escolher 5 cartas em um baralho contendo 8 cartas douradas e 12 cartas brancas. Cada vez que uma carta é escolhida, verifica-se a sua cor e ela é devolvida ao baralho, que é embaralhado. Cada carta dourada que o jogador tira rende-lhe um prêmio de R$ 100,00.

1. Quanto se espera que o jogador ganhe, em média, neste jogo? Qual é o desvio padrão do prêmio do jogador?
2. Qual é a probabilidade de que o jogador ganhe algo?
3. Qual é a probabilidade condicional de que o jogador ganhe o prêmio máximo, dado que ele ganhará algo?