P1 de Probest da UFRJ - 2013.1

Para sagrar-se campeão de um torneio de tênis, um jogador precisa vencer quatro partidas sucessivas, todas elas eliminatórias. José é um dos participantes e suas probabilidades de vitória em cada partida (caso ele não tenha sido eliminado até então) foram estimadas em: 80% na 1ª partida, 70% na 2ª partida, 60% na 3ª partida (semifinal) e 50% na 4ª partida (final). Observe que estas probabilidades independem de quem seja o seu adversário em cada partida. Calcule as probabilidades de que José:

1. Não consiga chegar até a final;
2. Consiga chegar a uma semifinal, dado que não será o campeão.

e representam os valores (em reais) que as ações A1 e A2, respectivamente, terão daqui a um ano. Como sabemos, o comportamento caótico da bolsa de valores implica que e podem ser considerados aleatórios. Suponha, mais especificamente, que:

1. é modelada por uma distribuição Normal com média de 30 reais e variância de 100 reais²;
2. é modelada por uma distribuição Normal com média de 60 reais e variância de 400 reais²; e
3. as cotações dessas duas ações são independentes.

Um investidor comprou hoje 300 ações A1 a 25 reais cada uma, e 200 ações A2 a 40 reais cada uma.

1. Quais são a distribuição, a esperança e o desvio padrão do valor total que a carteira de ações deste investidor terá dentro de um ano?
2. Qual é a probabilidade de que essa a carteira de ações tenha se valorizado em pelo menos 50% depois de um ano?

A distribuição da renda, expressa em salários mínimos (s.m.), dos membros de um sindicato é caracterizada pela função de densidade:

.

1. Calcule o desvio padrão (em s.m.) dessa variável;
2. Determine o nível salarial (em s.m.) abaixo do qual estão os salários de 87,5% (ou seja, ) desses profissionais.

Um vendedor de seguros vende em média 3 apólices por semana (7 dias). O número de apólices vendidas pode ser modelada por uma distribuição de Poisson.

1. Calcule a probabilidade de que ele venda 2 ou mais apólices numa dada semana;
2. Foram escolhidas 4 semanas aleatoriamente, de maneira que se possa supor independência das vendas entre as semanas. Deseja-se saber a probabilidade de em exatamente 3 semanas, entre as 4 escolhidas, terem sido vendidas 2 ou mais apólices;
3. Calcule a probabilidade de que ele venda 1 apólice durante um período de 5 dias.