Uma viga engastada está sujeita a uma força conforme o desenho abaixo. Considerando constante encontre a equação da linha elástica. Encontre também a máxima deflexão e inclinação.

Para achar o momento fletor primeiro precisamos achar as forças nos apoios, para isso vamos desenhar um esquema de forças.

Pelas equações da estática vamos ter:

Como só existe uma força em :

Para as forças em :

Para os momentos considerando o sentido horário positivo e aplicados na extremidade engastada vamos ter:

Com as forças vamos poder achar o momento fletor, realizando um corte entre o engaste e a aplicação da força vamos ter:

Fazendo o somatório das forças em de modo a achar a força cortante:

Agora podemos achar o momento fletor, fazendo o somatório dos momentos em torno do ponto e considerando o sentido horário positivo:

Uhulll achamos o momento!! Agora vamos achar a linha elástica!!

Para achar a linha elástica a gente só precisa daquela equação com uma derivada de segunda ordem:

Substituindo :

Agora vamos integrar em :

Agora podemos utilizar a condição de contorno referente ao ângulo (porque ). Com isso vamos ter que a inclinação em (no ponto de engaste) é nula. Se quiser volta lá na tabelinha pra conferir =D

Substituindo os valores vamos ter:

Logo,

Nossa equação fica da forma:

Com isso já da para achar a maior inclinação. Podemos perceber que essa função é estritamente crescente, sendo assim o maior valor da inclinação ocorrerá no maior ponto de ou seja :

Agora vamos derivar a equação novamente para achar a linha elástica:

Como no engaste () não temos deflexão vamos ter:

Sendo assim

E a equação da linha elástica é dada por:

Da mesma forma que a inclinação, a linha elástica vai ser estritamente crescente. Sendo assim, vamos ter o maior valor em obtendo: