Calcule a integral.

∫ 0 π 4 1 + cos 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ   d θ

Passo 1

Caraca, essa eu admito, feia pra caramba! Parece mega complicada, mas acredita em mim, não é!! Lembra de soma de fração? Olha isso

A + C B = A B + C B

No nosso caso, observa que A = 1 ,   B = cos 2 ⁡ θ   e   C = cos 2 ⁡ θ ,   logo

∫ 1 + cos 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ   d θ

= ∫ 1 cos 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ   d θ

Maravilha, olha como aquele cosseno dividido por cosseno da 1! Só facilita nossa vida. Além disso, podemos escrever o 1 cos 2 ⁡ θ da primeira parte, como sendo sec 2 ⁡ θ .

∫ sec 2 ⁡ θ + 1   d θ =

A integral da secante ao quadrado é tabelada e vale tangente, e a integral de constante a gente só da um θ de presente

= tan ⁡ θ + θ + C

Não esquece da constante hein!!

Passo 2

Logo, pelo Teorema fundamental do Cálculo, a integral definida é:

∫ 0 π 4 1 + cos 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ   d θ

= tan ⁡ θ + θ + C π 4 0

= tan ⁡ π 4 + π 4 + C - tan ⁡ 0 + 0 + C

∫ 0 π 4 1 + cos 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ   d θ = tan ⁡ π 4 + π 4 = 1 + π 4

Logo,

∫ 0 π 4 1 + cos 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ   d θ = 1 + π 4

Resposta

∫ 0 π 4 1 + cos 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ   d θ = 1 + π 4

Exercícios Resolvidos de Integrais de Funções Básicas

Ver Teoria