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Exercícios Resolvidos de Integrais de Funções Básicas

Ver Teoria
Exercício 2134567891011

Enunciado

Calcule a integral.

∫ π 4 π 3 ( sec ⁡ θ - tg ⁡ θ )   d θ

Passo 1

Bom pessoal , a primeira coisa que devemos fazer é separar as duas funções:

∫ π 4 π 3 sec ⁡ θ   d θ - ∫ π 4 π 3 tg ⁡ θ   d θ

Temos que:

∫ sec ⁡ θ   d θ = l n ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x

e

∫ tan ⁡ θ d θ = l n sec ⁡ x

Obs: Essas duas integrais podem ser resolvidas com métodos específico de integração que veremos a frente, mas também tem resultados tabelados, que são os que mostrei acima. Seria legal você memorizar, mas se não conseguir, não se preocupa! Nos módulos da frente vou mostrar direitinho como resolver cada uma delas!

Passo 2

Agora, o próximo passo é aplicar o Teorema fundamental do Cálculo na integral definida:

∫ π 4 π 3 sec ⁡ θ d θ = ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x π 3 π 4

ln ⁡ tan ⁡ π 3 + sec ⁡ π 3 - ln ⁡ tan ⁡ π 4 + sec ⁡ π 4

= ln ⁡ 2 + 3 - ln ⁡ 2 + 1

Agora com:

∫ π 4 π 3 tg ⁡ θ   d θ = ln ⁡ sec ⁡ x π 3 π 4

ln ⁡ sec ⁡ π 3 - ln ⁡ sec ⁡ π 4

= 1 2 ln ⁡ 2

Logo,

∫ π 4 π 3 ( sec ⁡ θ - tg ⁡ θ )   d θ = ln ⁡ 2 + 3 - ln ⁡ 2 + 1 - 1 2 ln ⁡ 2

Resposta

∫ π 4 π 3 ( sec ⁡ θ - tg ⁡ θ )   d θ = ln ⁡ 2 + 3 - ln ⁡ 2 + 1 - 1 2 ln ⁡ 2