Supondo que uma função tenha derivada contínua para então o comprimento da parte do gráfico para é:
Calcule o comprimento do gráfico de de até
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pode tentar confundir a gente, mas aqui não tem segredo é só aplicar a fórmula que o enunciado deu.
Só que agora vamos usar a função no lugar dessa .
O primeiro passo é calcular a derivada da função, poque temos lá dentro da raiz
Parece complicado né? Vamos com calma. Primeiro tiramos a constante:
Agora vamos usar a regra da cadeia, chamando
E vazemos a derivada da de fora, vezes a derivada da de dentro.
Regra do petelecom para .
Resolvendo cada uma dessas derivadas:
E agora é só multiplicar tudo:
Passo 2
Agora vamos voltar para nossa fórmula:
Substituindo os valores, ficamos com a seguinte integral:
Admito, não ta com a cara bonita, mas tenha fé! Agora vamos elevar aquele parênteses de dentro ao quadrado, como é uma multiplicação do com o e com a, cada um desse carinhas vai ganhar o seu quadrado, ficando:
Já sumiu com uma raíz, o que é sempre lucro. Vamos agora fazer a multiplicação distributiva do . Multiplicando o por cada termo dos parênteses:
Agora é só resolver essa integral. Ta com a cara já bem mais tranquila, né?
Passo 3
Vamos começar reescrevendo esse polinômio para facilitar nossa vida. É preciso ter alguma intuição aqui:
Percebe que o primeiro e o último termo são quadrados perfeitos?
Isso tem cara de produto notável do tipo:
Veja que o está no lugar do , e que o está no lugar do .
Vamos ver se funciona:
Abrindo isso encontramos:
Ótimo, deu certo de primeira. Vamos colocar isso na integral:
Como é um quadrado dentro da raiz, podemos cancelar eles, ficando com:
Agora a integral desse polinômio é simples
Então substituindo os limites de integração:
Pronto! Esse é o comprimento do arco!
Resposta
Letra (a).