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Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas

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Exercício 91234567810

Enunciado

Calcule a integral:

∫ 1 2 ∫ - 1 1 ∫ 0 2 x + y + z   d x d y d z

Passo 1

Fala aíí! Vamos continuar nossos exercicos para ficar fera nas integrais triplas!

Vamos lá, repare que nessa questão os limites de integração já estão posicionados na integral, é válido lembrar também que devemos resolver sempre de dentro para fora, ou seja, primeiro integraremos em x depois em y e por último em z .

Passo 2

Quando vamos integrar em relação a x , consideramos y e z constantes, lembra? Fica assim então, integrando em x :

Vamos começar integrando em relação a z ,   ou seja, vamos ver só essa integral aqui

∫ 0 2 x + y + z   d x

Vamos separar em 3 integrais

∫ 0 2 x   d x + ∫ 0 2 y   d x + ∫ 0 2 z   d x

Lembrando que integral em relação a x , temos y   e z como constantes, então vamos fazer!

x 2 2 0 2 + y ⋅ x 0 2 + z ⋅ x 0 2

Substituindo os limites de integração, temos

2 2 - 0 2 2 + y ⋅ 2 - 0 + z ⋅ 2 - 0

E isso da

4 2 + 2 y + 2 z

Que simplificando fica

2 + 2 y + 2 z

Passo 3

Show, vamos pegar esse resultado e aplicar na nossa integral do meio (em relação a y )

∫ 0 1 2 + 2 y + 2 z   d y

∫ - 1 1 2 d y + ∫ - 1 1 2 y   d y + ∫ - 1 1 2 z   d y

2 ⋅ y 0 1 + 2 y 2 2 0 1 + 2 z ⋅ y 0 1

Substituindo os limites de integração e simplificando os 2 , temos

2 1 - ( - 1 ) + 1 2 - ( - 1 ) 2 + 2 z 1 - ( - 1 )

Temos então

2 2 + 1 - 1 + 2 z 2

E isso da

4 + 0 + 4 z

Que é igual a

4 + 4 z

Passo 4

Agora vamos pegar esse resultado e aplicar na nossa última integral!

∫ 1 2 4 + 4 z   d z

Vamos separar em duas integrais, ficando com

∫ 1 2 4   d z + ∫ 1 2 4 z   d z

Resolvendo isso daí, temos

4   z 1 2 + 4 z 2 2 1 2

Substituindo nossos limites de integração e simplificando 4 com 2 temos

4   z 1 2 + 2   z 2 1 2

4 ⋅ ( 2 - 1 ) + 2 ⋅ ( 2 2 - 1 2 )

E isso dá pra gente

4 ⋅ 1 + 2 ⋅ ( 3 )

Que é a mesma coisa que

4 + 6 = 10

Então, temos que

∫ 1 2 ∫ - 1 1 ∫ 0 2 x + y + z   d x d y d z = 10

Resposta

∫ 1 2 ∫ - 1 1 ∫ 0 2 x + y + z   d x d y d z = 10

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