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Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas

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Exercício 21345678910

Enunciado

Calcule a integral:

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 x 2 + y 2 + z 2   d z d y d x

Passo 1

Fala aíí! Vamos começar com nosso estudo de integrais triplas!

Repare que nessa questão os limites de integração já estão posicionados na integral, é válido lembrar também que devemos resolver sempre de dentro para fora, ou seja, primeiro integraremos em z depois em y e por último em x .

Passo 2

Quando vamos integrar em relação a z , consideramos x e y constantes, lembra? Fica assim então, integrando em z :

Vamos começar integrando em relação a z ,   ou seja, vamos ver só essa integral aqui

∫ 0 1 x 2 + y 2 + z 2   d z

Vamos separar em 3 integrais

∫ 0 1 x 2 d z + ∫ 0 1 y 2   d z + ∫ 0 1 z 2   d z

Lembrando que integral em relação a z , temos x   e y como constantes, então vamos fazer!

x 2 ⋅ z 0 1 + y ⋅ z 0 1 + z 3 3 0 1

Substituindo os limites de integração, temos

x 2 ( 1 - 0 ) + y 2 ( 1 - 0 ) + ( 1 - 0 ) 3

E isso da

x 2 + y 2 + 1 3

Passo 3

Show, vamos pegar esse resultado e aplicar na nossa integral do meio (em relação a y )

∫ 0 1 x 2 + y 2 + 1 3   d y

∫ 0 1 x 2 d y + ∫ 0 1 y 2   d y + ∫ 0 1 1 3   d y

x 2 ⋅ y 0 1 + y 3 3 0 1 + 1 3 ⋅ y 0 1

Substituindo os limites de integração temos

x 2 ⋅ 1 - 0 + 1 3 - 0 3 3 + 1 3 ⋅ 1 - 0

Então ficamos com

x 2 + 1 3 + 1 3

Que é a mesma coisa que

x 2 + 2 3

Passo 4

Agora vamos pegar esse resultado e aplicar na nossa última integral!

∫ 0 1 x 2 + 2 3   d x

Vamos separar em duas integrais, ficando com

∫ 0 1 x 2   d x ∫ 0 1 2 3   d x

Resolvendo isso daí, temos

x 3 3 0 1 + 2 3 ⋅ x 0 1

Substituindo nossos limites de integração temos

( 1 3 - 0 3 ) 3 + 2 3 ⋅ ( 1 - 0 )

E isso dá pra gente

1 3 + 2 3

Que é a mesma coisa que

3 3 = 1

Resposta

1

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