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Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas

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Exercício 31245678910

Enunciado

Calcule a integral:

∫ 0 π ∫ 0 π ∫ 0 π cos ⁡ ( u + v + w )   d u d v d w

Passo 1

Fala aíí! Vamos continuar nossos exercicos para ficar fera nas integrais triplas!

Vamos lá, repare que nessa questão os limites de integração já estão posicionados na integral, é válido lembrar também que devemos resolver sempre de dentro para fora, ou seja, primeiro integraremos em u depois em v e por último em w .

Passo 2

Quando vamos integrar em relação a u , consideramos v e w constantes, lembra? Fica assim então, integrando em u :

Vamos começar integrando em relação a z ,   ou seja, vamos ver só essa integral aqui

∫ 0 π cos ⁡ ( u + v + w ) d u

Vamos fazer uma substituição simples

u + v + w = a

Derivando em relação a u , temos que

d u = d a

Então temos a seguinte integral

∫ cos ⁡ ( a ) d a

E essa integral fica

s e n a →   s e n u + v + w

Agora vamos colocar nossos limites de integração

  s e n ( u + v + w ) | 0 π

Substituindo e subtraindo temos

s e n π + v + w - s e n 0 + v + w

Que é ninguém mais, ninguém menos que

s e n π + v + w - s e n v + w

Passo 3

Show, vamos pegar esse resultado e aplicar na nossa integral do meio (em relação a v )

∫ 0 π s e n π + v + w - s e n v + w d v

Vamos separar em duas integrais

∫ 0 π s e n π + v + w d v - ∫ 0 π s e n v + w d v

Na primeira integral vamos fazer

π + v + w = a

d v = d a

E na segunda

v + w = b

d v = d b

Então temos

∫ s e n a d a - ∫ s e n b d b

Integrando, temos

- cos ⁡ a - - cos ⁡ b

Substituindo de volta, temos

- cos ⁡ π + v + w + c o s ⁡ ( v + w ) v = 0 v = π

Substituindo v pelos limites, temos

- cos ⁡ π + π + w + cos ⁡ π + w - - cos ⁡ π + 0 + w + cos ⁡ 0 + w

Ajeitando isso aí, ficamos com

- cos ⁡ 2 π + w + cos ⁡ π + w + cos ⁡ π + w - cos ⁡ w

Somando os termos comuns, temos

- cos ⁡ 2 π + w + 2 cos ⁡ π + w - c o s ⁡ ( w )

Passo 4

Agora vamos pegar esse resultado e aplicar na nossa última integral!

∫ 1 2 - cos ⁡ 2 π + w + 2 cos ⁡ π + w - cos ⁡ w d w

Vamos separar em três integrais, ficando com

- ∫ 1 2 cos ⁡ 2 π + w d w + 2 ∫ 1 2 cos ⁡ π + w d w - ∫ 1 2 cos ⁡ w d w

Vamos fazer que nem os passos anteriores aquelas substituições e ficamos com

- s e n 2 π + w + 2 s e n π + w - s e n ( w ) | 0 π

Resolvendo isso daí, temos

[ - sen ⁡ 2 π + π + 2 sen ⁡ π - sen ⁡ π - - sen ⁡ 2 π + 0 + 2 sen ⁡ π + 0 - sen ⁡ 0

Que é a mesma coisa que

- sen ⁡ 3 π + 2 sen ⁡ 2 π - sen ⁡ π - - sen ⁡ 2 π + 2 sen ⁡ π - sen ⁡ 0

Só que temos uma propriedade da trigonometria que diz que sen ⁡ ( k π ) = 0 para qualquer k ∈ Z

Logo:

sen ⁡ 3 π = sen ⁡ 2 π = sen ⁡ π = sen ⁡ 0 = 0

Portanto:

[ - sen ⁡ 3 π + 2 sen ⁡ 2 π - sen ⁡ π - - sen ⁡ 2 π + 2 sen ⁡ π - sen ⁡ 0 =

= 0 + 2 ⋅ 0 - 0 + 0 - 2 ⋅ 0 + 0

E esse monte de zeros ai dá ninguém mais, ninguém menos que

0

Resposta

0

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