Considere condições de regime estacionário na condução unidimensional em uma parede plana com uma condutividade térmica de k = 50   W / m . K e uma espessura L = 0,25   m , sem geração interna de calor.

Determine o fluxo térmico e a grandeza desconhecida em cada caso e esboce a distribuição de temperaturas, indicando a direção do fluxo térmico.

Passo 1

Vamos nessa! De acordo com o problema, vamos trabalhar com o fluxo de calor por condução q c o n d ' ' , dado por:

q c o n d ' ' = q c o n d A = - k d T d x

Como estamos trabalhando com a diferença de temperatura através de uma parede plana, podemos dizer que:

d T d x = T 2 - T 1 L

Se liga! Na tabela, temos que colocar d T / d x como K / m , mas o problema nos deu as temperaturas em ° C ... como fazemos então?!

Calma! Por conta da relação entre temperaturas em Kelvin e Celsius K = C + 273 , a variação de temperatura terá o mesmo valor, seja em graus, ou em Celsius! Então não precisamos esquentar a cabeça com isso, ok?

Além disso, teremos que determinar o sentido do fluxo térmico pra cada caso. Aqui, é importante lembrar que o fluxo térmico flui do ponto de maior temperatura para o ponto de menor temperatura.

Bom, esses conhecimentos são o suficiente pra resolver o problema. Vamos analisar, então, um caso por vez, beleza?

Passo 2

Caso 1:

Dados:

T 1 = 50 ° C

T 2 = - 20 ° C

k = 50   W / m . K

L = 0,25   m

Vamos começar calculando a grandeza que falta na tabela, e depois usá-la pra calcular o fluxo de calor.

d T d x = T 2 - T 1 L = - 20 - 50 0,25

d T d x = - 280   K / m

Agora estamos prontos pra calcular o fluxo de calor, dado por:

q c o n d ' ' = - k d T d x = - 50 × - 280

q c o n d ' ' = 14000 W m 2 = 14 k W m 2

Como T 1 > T 2 , o fluxo térmico vai para a direita.

Passo 3

Caso 2:

Dados:

T 1 = - 30 ° C

T 2 = - 10 ° C

k = 50   W / m . K

L = 0,25   m

Mesmo esquema aqui, vamos começar calculando d T / d x para depois calcular o fluxo de calor, ok?

d T d x = T 2 - T 1 L = - 10 - - 30 0,25

d T d x = 80   K / m

q c o n d ' ' = - k d T d x = - 50 × 80

q c o n d ' ' = - 4000 W m 2 = - 4 k W m 2

Como T 1 < T 2 , o fluxo térmico fluirá para a esquerda.

Passo 4

Caso 3:

Dados:

T 1 = 70 ° C

d T d x = 160   K / m

k = 50   W / m . K

L = 0,25   m

Como o problema já nos deu d T / d x , podemos calcular o fluxo de calor sem maiores problemas:

q c o n d ' ' = - k d T d x = - 50 × 160

q c o n d ' ' = - 8000 W m 2 = - 8 k W m 2

Para calcular T 2 , vamos fazer utilizar a seguinte relação:

d T d x = T 2 - T 1 L

Opa! Podemos reorganizar essa equação para encontrar T 2 :

T 2 = T 1 + L d T d x = 70 + 0,25 × 160

T 2 = 110 ° C

Como T 1 < T 2 , o fluxo térmico vai para a esquerda.

Passo 5

Caso 4:

Dados:

T 2 = 40 ° C

d T d x = - 80   K / m

k = 50   W / m . K

L = 0,25   m

Novamente, como o problema já nos deu d T / d x , podemos calcular logo o fluxo de calor:

q c o n d ' ' = - k d T d x = - 50 × - 80

q c o n d ' ' = 4000 W m 2 = 4 k W m 2

Para calcular T 1 , vamos reorganizar a equação abaixo:

d T d x = T 2 - T 1 L

T 1 = T 2 - L d T d x = 40 - 0,25 × - 80

T 1 = 60 ° C

Como T 1 > T 2 , o fluxo térmico fluirá para a direita.

Passo 6

Caso 5:

Dados:

T 2 = 5 0 ° C

d T d x = 200   K / m

k = 50   W / m . K

L = 0,25   m

Mesmo esquema do passo anterior, vamos começar calculando o fluxo de calor:

q c o n d ' ' = - k d T d x = - 50 × 200

q c o n d ' ' = - 10000 W m 2 = - 10 k W m 2

Para calcular T 1 , vamos reorganizar a equação abaixo:

d T d x = T 2 - T 1 L

T 1 = T 2 - L d T d x = 5 0 - 0,25 × 200

T 1 = 0 ° C

Como T 1 < T 2 , o fluxo térmico vai para a esquerda.

Resposta

  • Caso 1:
  • d T d x = - 280   K / m

    q c o n d ' ' = 14000 W m 2 = 14 k W m 2

    O fluxo térmico vai para a direita.

  • Caso 2:
  • q c o n d ' ' = - 4000 W m 2 = - 4 k W m 2

    d T d x = 80   K / m

    O fluxo térmico vai para a esquerda.

  • Caso 3:
  • q c o n d ' ' = - 8 k W m 2

    T 2 = 110 ° C

    O fluxo térmico vai para a esquerda.

  • Caso 4:
  • T 1 = 60 ° C

    q c o n d ' ' = 4 k W m 2

    O fluxo térmico vai para a direita.

  • Caso 5:

q c o n d ' ' = - 10 k W m 2

T 1 = 0 ° C

O fluxo térmico vai para a esquerda.

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