Exercícios Resolvidos de Introdução à Condução

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Enunciado

Uma panela é usada para ferver água. Ela é colocada sobre um fogão, a partir do qual calor é transferido a uma taxa fixa q 0 . Há dois estágios no processo.

No Estágio 1, a água é levada de sua temperatura inicial (ambiente) T i até o ponto de ebulição, quando calor é transferido da panela para a água por convecção natural. Durante esse estágio pode-se admitir um valor constante do coeficiente de transferência de calor h , enquanto a temperatura média da água aumenta com o tempo, T ∞ = T ∞ t .

No Estágio 2, a água encontra-se em ebulição e a sua temperatura mantém-se em um valor fixo, T ∞ = T e b , enquanto o fornecimento de calor continua.

Considere uma base de panela com espessura L e diâmetro D , com um sistema de coordenadas no qual x = 0 e x = L nas superfícies em contato com o fogão e com a água, respectivamente.

a Escreva a forma da equação do calor e as condições inicial e de contorno que determinam a variação da temperatura com a posição e o tempo, T x , t , na base da panela ao longo do Estágio 1. Expresse o seu resultado em termos dos parâmetros q 0 , D , L , h e T ∞ , assim como das propriedades pertinentes do material da panela.

b Durante o Estágio 2 a superfície da panela em contato com a água encontra-se a uma temperatura fixa, T L , t = T L > T e b . Escreva a forma da equação do calor e as condições de contorno que determinam a distribuição de temperaturas, T x , na base da panela. Expresse o seu resultado em termos dos parâmetros q 0 , D , L e T L , assim como das propriedades pertinentes do material da panela.

Passo 1

Vamos nessa, meu time! A ideia aqui é essa:

Ou seja, nos dois Estágios teremos uma taxa de transferência de calor q 0 na superfície x = 0 . A única coisa que vai mudar será a condição de contorno para x = L , que é a superfície que está em contato com a água.

Um detalhe importante aqui é que o problema nos dá a taxa de transferência de calor mas, na hora de aplicar as condições de contorno, vamos trabalhar com o fluxo de calor. Para isso, basta usar a relação:

q 0 ' ' = q 0 A

Como o problema nos deu o diâmetro da base da panela, podemos escrever que:

A = π D 2 4

Logo:

q 0 ' ' = q 0 π D 2 / 4 = 4 q 0 π D 2

Show de bola! Agora vamos analisar cada um dos estágios, beleza?

Passo 2

a Escreva a forma da equação do calor e as condições inicial e de contorno que determinam a variação da temperatura com a posição e o tempo, T x , t , na base da panela ao longo do Estágio 1. Expresse o seu resultado em termos dos parâmetros q 0 , D , L , h e T ∞ , assim como das propriedades pertinentes do material da panela.

Estágio 1

Considerações:

  • Transferência de calor somente no eixo x ;
  • Não há geração de calor interna;
  • Propriedades do material constantes;
  • Fluxo de calor constante q 0 ' ' na superfície x = 0 ;
  • Convecção na superfície x = L ;
  • Temperatura inicial T i .

Começando pela Equação do Calor, temos que:

∂ ∂ x k ∂ T ∂ x + ∂ ∂ y k ∂ T ∂ y + ∂ ∂ z k ∂ T ∂ z + q ˙ = ρ c p ∂ T ∂ t

Aplicando as nossas considerações, teremos o seguinte:

k ∂ 2 T ∂ x 2 = ρ c p ∂ T ∂ t

∂ 2 T ∂ x 2 = 1 α ∂ T ∂ t

Onde α = k / ρ c p .

Em x = 0 , temos uma condição de fluxo de calor constante, logo:

- k ∂ T ∂ x x = 0 = q 0 ' '

- k ∂ T ∂ x x = 0 = 4 q 0 π D 2

Em x = L , temos uma condição de convecção na superfície, logo:

- k ∂ T ∂ x x = L = h T L , t - T ∞

Pra fechar, não podemos esquecer que, inicialmente, todo o sistema está a temperatura ambiente. Sendo assim:

T x , 0 = T i

Pronto! Nem doeu! ;)

Vamos pro Estágio 2.

Passo 3

b Durante o Estágio 2 a superfície da panela em contato com a água encontra-se a uma temperatura fixa, T L , t = T L > T e b . Escreva a forma da equação do calor e as condições de contorno que determinam a distribuição de temperaturas, T x , na base da panela. Expresse o seu resultado em termos dos parâmetros q 0 , D , L e T L , assim como das propriedades pertinentes do material da panela.

Estágio 2

Considerações:

  • Transferência de calor somente no eixo x ;
  • Não há geração de calor interna;
  • Propriedades do material constantes;
  • Fluxo de calor constante q 0 ' ' na superfície x = 0 ;
  • Temperatura constante em x = L .

Começando pela Equação do Calor, é importante ressaltar que, como agora a temperatura está constante em x = L , não há mais variação de temperatura com o tempo, já que a água está passando por mudança de fase, dessa forma:

∂ ∂ x k ∂ T ∂ x + ∂ ∂ y k ∂ T ∂ y + ∂ ∂ z k ∂ T ∂ z + q ˙ = ρ c p ∂ T ∂ t

Aplicando as nossas considerações, teremos o seguinte:

∂ 2 T ∂ x 2 = 0

Em x = 0 , temos uma condição de fluxo de calor constante, logo:

- k ∂ T ∂ x x = 0 = q 0 ' '

- k ∂ T ∂ x x = 0 = 4 q 0 π D 2

Em x = L , temos uma condição de temperatura constante, logo:

T L , t = T L

Acabou! :)

Resposta

a

∂ 2 T ∂ x 2 = 1 α ∂ T ∂ t

- k ∂ T ∂ x x = 0 = 4 q 0 π D 2

- k ∂ T ∂ x x = L = h T L , t - T ∞

T x , 0 = T i

b

∂ 2 T ∂ x 2 = 0

- k ∂ T ∂ x x = 0 = 4 q 0 π D 2

T L , t = T L

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