Exercícios Resolvidos de Introdução à Condução

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Enunciado

Um tanque solar de gradiente salino é um corpo raso de água, composto por três camadas distintas de fluidos, que é usado para coletar energia solar.

As camadas externas superior e inferior encontram-se bem misturadas e servem para manter as superfícies superior e inferior da camada intermediária em temperaturas uniformes T 1 e T 2 , onde T 2 > T 1 . Embora exista movimentação do fluido nas camadas misturadas, tal movimento não está presente na camada central.

Considere condições nas quais a absorção de radiação solar na camada central implique em geração de calor não-uniforme na forma q ˙ = A e - a x e a distribuição de temperaturas nessa camada seja:

T x = - A k a 2 e - a x + B x + C

As grandezas A W / m 3 , a 1 / m , B K / m e C K são constantes conhecidas que possuem as unidades indicadas e k é a condutividade térmica, que também é constante.

a Obtenha expressões para a taxa, por unidade de área, na qual o calor é transferido da camada inferior misturada para a camada central e da camada central para a camada superior misturada.

b Determine se as condições do sistema são de regime estacionário ou de regime transiente.

c Obtenha uma expressão para a taxa na qual a energia térmica é gerada em toda camada central, por unidade de área superficial.

Passo 1

a Obtenha expressões para a taxa, por unidade de área, na qual o calor é transferido da camada inferior misturada para a camada central e da camada central para a camada superior misturada.

Quando o problema pede a taxa por unidade de área, ele está tentando dizer educadamente que quer que a gente determine a bagaça do fluxo de calor, show?

Graficamente, como T 2 > T 1 , a ideia é a seguinte:

Se o problema já nos disse como a temperatura varia com o valor de x , podemos começar calculando o fluxo de calor por condução:

q c o n d ' ' = - k d T d x = - k d d x - A k a 2 e - a x + B x + C

q c o n d ' ' = - A a e - a x - k B

Agora basta calcular o fluxo de calor nas duas superfícies e acabou o problema (pelo menos essa parte):

q c o n d ' ' x = 0 = - A a e 0 - k B

q c o n d ' ' x = 0 = - A a - k B

q c o n d ' ' x = L = - A a e - a L - k B

Passo 2

b Determine se as condições do sistema são de regime estacionário ou de regime transiente.

Para resolver o problema, precisamos analisar a Equação do Calor e observar se:

  • ∂ T / ∂ t = 0 : Regime estacionário;
  • ∂ T / ∂ t ≠ 0 : Regime transiente.

Vamos lá:

∂ ∂ x k ∂ T ∂ x + ∂ ∂ y k ∂ T ∂ y + ∂ ∂ z k ∂ T ∂ z + q ˙ = ρ c p ∂ T ∂ t

Aqui, vamos fazer as seguintes considerações:

  • Transferência de calor somente na direção x ;
  • Condutividade térmica constante.

Aplicando essas condições na Equação do Calor (onde q ˙ = A e - a x ), teremos:

k ∂ 2 T ∂ x 2 + A e - a x = ρ c p ∂ T ∂ t

O último trabalho que teremos aqui é calcular a segunda derivada ∂ 2 T / ∂ x 2 :

T x = - A k a 2 e - a x + B x + C

∂ T ∂ x = A k a e - a x + B

∂ 2 T ∂ x 2 = - A k e - a x

Substituindo na expressão na Equação do Calor, teremos:

k - A k e - a x + A e - a x = ρ c p ∂ T ∂ t

- A e - a x + A e - a x = ρ c p ∂ T ∂ t

ρ c p ∂ T ∂ t = 0

∂ T ∂ t = 0

Dessa forma, as condições do sistema são de regime estacionário.

Passo 3

c Obtenha uma expressão para a taxa na qual a energia térmica é gerada em toda camada central, por unidade de área superficial.

Novamente, como o problema está pedindo a taxa de energia térmica por unidade de área, o que ele quer que a gente calcule é o fluxo de energia térmica gerada. Este fluxo de energia pode ser calculado da seguinte forma:

E ˙ g ' ' = ∫ 0 L q ˙   d x

Substituindo a expressão de q ˙ , teremos:

E ˙ g ' ' = ∫ 0 L A e - a x   d x = A ∫ 0 L e - a x   d x

E ˙ g ' ' = A e - a x - a 0 L

E ˙ g ' ' = - A a e - a L - 1

Arrumando a casa, teremos o seguinte:

E ˙ g ' ' = A a 1 - e - a L

Resposta

a

q c o n d ' ' x = 0 = - A a - k B

q c o n d ' ' x = L = - A a e - a L - k B

b As condições do sistema são de regime estacionário.

c

E ˙ g ' ' = A a 1 - e - a L

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