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Exercícios Resolvidos de Introdução à Condução

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Exercício 10123456789

Enunciado

Em um dado instante de tempo, a distribuição de temperaturas no interior de um corpo homogêneo infinito é dada pela função:

T x , y , z = x 2 - 2 y 2 + z 2 - x y + 2 y z

Considerando propriedades constantes e ausência de geração de calor no interior do corpo, determine as regiões nas quais a temperatura varia com o tempo.

Passo 1

Quem vai nos dizer como a temperatura varia as coordenadas x , y , z e o tempo é a Equação de Difusão Térmica, dada por:

∂ ∂ x k ∂ T ∂ x + ∂ ∂ y k ∂ T ∂ y + ∂ ∂ z k ∂ T ∂ z + q ˙ = ρ c p ∂ T ∂ t

O problema nos disse para considerar as propriedades constantes (isso quer dizer que podemos tirar a condutividade térmica k da derivada) e que não há geração de calor no interior do corpo q ˙ = 0 .

Dessa forma, podemos escrever a equação acima da seguinte forma:

k ∂ ∂ x ∂ T ∂ x + k ∂ ∂ y ∂ T ∂ y + k ∂ ∂ z ∂ T ∂ z = ρ c p ∂ T ∂ t

∂ 2 T ∂ x 2 + ∂ 2 T ∂ y 2 + ∂ 2 T ∂ z 2 = ρ c p k ∂ T ∂ t

Agora vamos trabalhar nessas derivadas parciais!

Passo 2

Dado que a temperatura no corpo é dada por:

T x , y , z = x 2 - 2 y 2 + z 2 - x y + 2 y z

As primeiras derivadas serão dadas por:

∂ T ∂ x = 2 x - y

∂ T ∂ y = - 4 y - x + 2 z

∂ T ∂ z = 2 z + 2 y

E as segundas derivadas serão dadas por:

∂ 2 T ∂ x 2 = 2

∂ 2 T ∂ y 2 = - 4

∂ 2 T ∂ z 2 = 2

Agora podemos voltar para a Equação de Difusão de Calor.

Passo 3

∂ 2 T ∂ x 2 + ∂ 2 T ∂ y 2 + ∂ 2 T ∂ z 2 = ρ c p k ∂ T ∂ t

Substituindo o que encontramos para as derivadas parciais, teremos:

2 - 4 + 2 = ρ c p k ∂ T ∂ t

ρ c p k ∂ T ∂ t = 0

Logo:

∂ T ∂ t = 0

Isso significa que a temperatura independe do tempo em qualquer região.

Resposta

A temperatura independe do tempo em qualquer região.

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