Calcule o limite:
Passo 1
Fala aí, vamos continuar nossa caminhada pelas propriedades dos limites, e esse exercício aqui vai ajudar a gente em outra aplicação bem legal dessas propriedades.
O que o enunciado pede pra gente é pra determinar pra que valor a função se aproximará quando nós fizermos o tender a .
Pra entendermos bem o que faremos, vamos olhar com calma para o limite.
Veja, que a função que está ali é uma fração, e essa fração ainda está elevada ao quadrado. Calma que não vamos precisar resolver essa potência “de cara” ainda não.
Para resolver esse limite faremos uso de algumas propriedades que vão deixar tudo bem mais simples. Vamos ver a primeira no próximo passo.
Passo 2
Bom, a primeira propriedade que iremos usar, diz pra gente que quando temos uma função elevada ao um expoente (como é o caso da nossa que está ao quadrado) nós podemos passa o limite pra dentro dela, calcular o limite do que está dentro, e só depois resolver a potência.
Vai ficar assim, ó:
Assim, essa potência chata aí não será mais um problema pra gente.
Passo 3
Agora vamos olhar o que ficou dentro da potência. Ficamos com o limite de pra resolver, e como é uma fração, podemos calcular o limite do numerador e do denominador separadamente, e essa é mais uma propriedade dos limites que podemos usar aqui. Assim, ficamos com:
Show, ainda dá para melhorar um pouco mais.
Passo 4
Agora repara que em cada um desses limites que sobraram, temos funções polinomiais com vários termos. Uma outra propriedade dos limites diz pra gente que podemos calcular o limite de cada termo separadamente e depois juntarmos tudo. Além disso, ainda podemos colocar o que for constante pra fora do limite multiplicando na frente dele. Com isso transformamos nosso limite em:
Maravilha, agora chegou a hora de resolver de fato o nosso limite!
Passo 5
Perceba que o que fizemos foi transformar nosso limites que era:
Em
E assim poderemos aplicar o limite em cada pedacinho separadamente. Pra isso a gente retira o operado e substitui o valor de por dois em todos os lugares que aparecer o . Aí ficaremos com:
Com isso, só nos resta resolver essa expressão que sobrou. Lembrando sempre de resolver primeiro as potências de dentro, depois as multiplicações, somas e subtrações do numerador e denominador. Depois a fração e só por último você aplica esse quadrado que está aí fora dos colchetes.
Vamos lá:
Agora só nos resta fazer essa potência. Pra isso a gente aplica o quadrado em cima e embaixo:
E assim achamos o valor do nosso limite. Eeehhh! 😊
Obs.: uma coisa importante que temos que ver é o seguinte, você poderia substituir diretamente o valor do por na função diretamente, desde o início da resolução. Dessa forma aqui:
O que torna nossa resolução bem mais simples e direta. Mas isso só é possível de ser feito por causa de todas as propriedades que mostramos na resolução. Então, se você pegou bem o que as propriedades nos permitem fazer, você pode substituir diretamente, sem medo de errar. Mas atenção! É sempre importante você entender as regras, ok?