Determine o limite abaixo:
Passo 1
Ficou assim, né?
Calma que devagarinho a gente chega lá! Uma coisa que pode estar incomodando a gente é que temos uma fração e ainda tem esse diferentão ali no meio de tudo. Mas vamos olhar mais de perto o que precisamos.
Esse é apenas um valor constante, a mesma ideia do . Então, ele será tratado como um número, ok.
O que temos que fazer é calcular o seguinte limite:
E quem vai ajudar a gente nisso são as propriedades dos limites.
Passo 2
A primeira coisa que podemos observar é que a função que queremos calcular o limite, é uma razão. Então, podermos usar uma propriedade dos limites que diz que quando temos o limite de uma razão, esse limite pode ser aplicado no numerador e no denominador separadamente e depois a gente junta os resultados.
Então o que era:
Se transforma em:
Agora vamos olhar para o numerador e para do denominador separadamente.
Passo 3
- No numerador temos:
- No denominador temos:
Como existem dois termos ali, podemos separar esse limite em duas parcelas usando a propriedade da soma de limites. “O limite da soma é a soma dos limites”.
Assim ficaremos com:
Além disso, podemos tirar o que é uma constante de dentro do primeiro limite e passar ele para frente multiplicando.
Que também podemos separar nos limites de cada termo, ficando com:
Agora que já arrumamos tudo, vamos resolver de fato o limite.
Passo 4
Nos mexemos no nosso limite e ele passou de:
Para:
Agora o que vamos fazer é aplicar o limite, e pra isso vamos substituir o por em cada um dos limites. Nós tiramos o operador e trocamos todos os valores de por .
Fazendo isso, teremos:
Agora é só resolver a expressão que encontramos.
Passo 5
Resolvendo a expressão, lembrando de calcular primeiro as potências, depois as multiplicações, em seguida as somas e subtrações e só por último a divisão indicada na fração.
Ahh, detalhe importante: Todo número elevado a zero é igual a . Lembra que falamos que esse era só um número? Assim , bem como
Como isso:
Aqui temos uma divisão de sinais contrários. O que vai dar pra gente sinal negativo. Assim:
Fim! 😊
Obs. Poderíamos ter substituído o valor de diretamente na função inicial. Mas nosso foco aqui é entender as propriedades que podem ser aplicadas aos limites, ok.