Exercícios Resolvidos de Introdução e Propriedades dos Limites

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Enunciado

Determine o limite abaixo:

lim x → 0 ⁡ 2 x + e x x 5 - 5 x

Passo 1

Ficou assim, né?

Calma que devagarinho a gente chega lá! Uma coisa que pode estar incomodando a gente é que temos uma fração e ainda tem esse e diferentão ali no meio de tudo. Mas vamos olhar mais de perto o que precisamos.

Esse e é apenas um valor constante, a mesma ideia do π . Então, ele será tratado como um número, ok.

O que temos que fazer é calcular o seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ 2 x + e x x 5 - 5 x

E quem vai ajudar a gente nisso são as propriedades dos limites.

Passo 2

A primeira coisa que podemos observar é que a função que queremos calcular o limite, é uma razão. Então, podermos usar uma propriedade dos limites que diz que quando temos o limite de uma razão, esse limite pode ser aplicado no numerador e no denominador separadamente e depois a gente junta os resultados.

Então o que era:

lim x → 0 ⁡ 2 x + e x x 5 - 5 x

Se transforma em:

lim x → 0 ⁡ 2 x + e x lim x → 0 ⁡ x 5 - 5 x

Agora vamos olhar para o numerador e para do denominador separadamente.

Passo 3

  • No numerador temos:
  • lim x → 0 ⁡ 2 x + e x

    Como existem dois termos ali, podemos separar esse limite em duas parcelas usando a propriedade da soma de limites. “O limite da soma é a soma dos limites”.

    Assim ficaremos com:

    lim x → 0 ⁡ 2 x + lim x → 0 ⁡ e x

    Além disso, podemos tirar o 2 que é uma constante de dentro do primeiro limite e passar ele para frente multiplicando.

    2 . lim x → 0 ⁡ x + lim x → 0 ⁡ e x

  • No denominador temos:

lim x → 0 ⁡ x 5 - 5 x

Que também podemos separar nos limites de cada termo, ficando com:

lim x → 0 ⁡ x 5 - lim x → 0 ⁡ 5 x

Agora que já arrumamos tudo, vamos resolver de fato o limite.

Passo 4

Nos mexemos no nosso limite e ele passou de:

lim x → 0 ⁡ 2 x + e x x 5 - 5 x

Para:

2 . lim x → 0 ⁡ x + lim x → 0 ⁡ e x lim x → 0 ⁡ x 5 - lim x → 0 ⁡ 5 x

Agora o que vamos fazer é aplicar o limite, e pra isso vamos substituir o x por 0 em cada um dos limites. Nós tiramos o operador lim x → 0 ⁡ e trocamos todos os valores de x por 0 .

Fazendo isso, teremos:

2 . 0 + e 0 0 5 - 5 0

Agora é só resolver a expressão que encontramos.

Passo 5

Resolvendo a expressão, lembrando de calcular primeiro as potências, depois as multiplicações, em seguida as somas e subtrações e só por último a divisão indicada na fração.

2 . 0 + e 0 0 5 - 5 0

Ahh, detalhe importante: Todo número elevado a zero é igual a 1 . Lembra que falamos que esse e era só um número? Assim e 0 = 1 , bem como 5 0 = 1 .

Como isso:

2 . 0 + e 0 0 5 - 5 0

= 2 . 0 + 1 0 - 1

= 0 + 1 0 - 1

= + 1 - 1

Aqui temos uma divisão de sinais contrários. O que vai dar pra gente sinal negativo. Assim:

2 . lim x → 0 ⁡ x + lim x → 0 ⁡ e x lim x → 0 ⁡ x 5 - lim x → 0 ⁡ 5 x = - 1

Fim! 😊

Obs. Poderíamos ter substituído o valor de x diretamente na função inicial. Mas nosso foco aqui é entender as propriedades que podem ser aplicadas aos limites, ok.

Resposta

lim x → 0 ⁡ 2 x + e x x 5 - 5 x = - 1