Exercícios Resolvidos de Introdução e Propriedades dos Limites

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Enunciado

Se lim x → 0 ⁡ f x x 2 = 1 , determine:

a lim x → 0 ⁡ f x

b lim x → 0 ⁡ f x x

Passo 1

  1. Olá! Tudo bem? Bora ver mais essa?
  2. Aqui, a ideia é aplicar a propriedade dos limites. Se fizermos aparecer aquele limite que nos foi dado no enunciado poderemos substituí-lo por 1 , certo? Dessa forma, vou forçar o limite do enunciado a aparecer, multiplicando em cima e embaixo por x 2 :

    lim x → 0 ⁡ f x = lim x → 0 ⁡ f x x 2 x 2

    Aqui agora a gente vai poder separar em dois limites, utilizando a propriedade do produto de limites:

    lim x → 0 ⁡ f x x 2 lim x → 0 ⁡ x 2

    Beleza até aqui? Vamos continuar...

    Passo 2

    Do enunciado, a gente tem que lim x → 0 ⁡ f x x 2 = 1 . Então a gente vai substituir isso ali no nosso produto!

    lim x → 0 ⁡ f x x 2 lim x → 0 ⁡ x 2

    = 1 ⋅   lim x → 0 ⁡ x 2

    E aí nesse outro limite é só a gente substituir o x por 0 :

    = 1 ⋅ 0 2

    = 0

    Beleza! Esse já foi😉

    Passo 3

  3. Vamos tentar chegar no limite do enunciado aqui de novo. Perceba que a gente pode fazer o seguinte:

lim x → 0 ⁡ f x x = lim x → 0 ⁡ f x ⋅ x x . x = lim x → 0 ⁡ f x x 2 ⋅ x    

E aí a gente pode separar assim:

lim x → 0 ⁡ f x x 2 lim x → 0 ⁡ x

Passo 2

Olha o limite do eunciado ali! A gente sabe que:

lim x → 0 ⁡ f x x 2 = 1

Então a gente substituir isso no nosso produto, assim:

lim x → 0 ⁡ f x x 2 lim x → 0 ⁡ x

= 1 ⋅ lim x → 0 ⁡ x

E aí nesse outro limite a gente pode substituir o x por 0 e fica:

= 1 ⋅ 0

= 0

E acabamos por aqui! 😁

Resposta

a   lim x → 0 ⁡ f x = 0

b   lim x → 0 ⁡ f x x = 0