Avalie o seguinte limite:
Passo 1
Fala aiiii, tudo na paz? Bom, antes de resolvermos a nossa questão, vamos tentar interpretar o que está acontecendo ali. Ok?
O que esse limite está querendo saber é: De que valor a função se aproxima quando fazemos se ficar cada vez mais perto do 1. Ou seja, dizemos que o tende a 1 .
Agora dá aquela reparada na função:
Olhando bem pra carinha dela vemos que podemos separá-la em dois pedaços, e para resolvermos usando as propriedades dos limites vamos olhar pedacinho por pedacinho.
Podemos olha pra ela como sendo dois blocos que estão sendo multiplicados. Sendo:
e
Como é uma multiplicação desses dois carinhas aí, nós vamos precisar usar a propriedade do limite de um produto. Onde nós podemos aplicar o limite em cada um dos dois blocos (mas sem ser o de carnaval rs), saca só:
Aqui vai ser o nosso BLOCO 1 e o BLOCO 2. Agora vamos resolver esses blocos!
Passo 2
Analisando primeiro o BLOCO 1, nós vemos que temos uma constante multiplicando o então podemos jogar ela para fora do limite da seguinte forma:
Agora, vamos resolver esse limite fazendo a substituição direta do por , já que no nosso limite:
Show! BLOCO 1 foi, vamos deixar esse resultado guardadinho aqui. Agora partiu BLOCO 2.
Passo 3
No BLOCO 2 nós temos um número de Euler querendo dificultar a nossa vida, mas não vamos nos abalar! É só a gente não mexer com ele que ele não implica com a gente rsrsr. O que nos interessa é esse que está na dentro da raíz no expoente dele.
Como a função é contínua, nós podemos jogar o limite direto lá na raiz e ficamos com o seguinte:
Então nosso real problema é na verdade resolver só:
Tá, mas e agora, o que faço com aquele chatão? Nada! Você simplesmente substitui o limite na raiz e fica com:
Fim do BLOCO 2, agora vamos buscar aquele resultado do BLOCO 1 e juntar tudo?
Passo 4
Lembra que nossos BLOCOS estavam sendo multiplicados? O que nós tinhámos:
E agora encaixando o resultado de cada BLOCO no seu devido lugar ficamos com:
Feshow! 😊