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Exercícios Resolvidos de Introdução e Propriedades dos Limites

Ver Teoria
Exercício 9123456781011

Enunciado

Calcule o limite abaixo

lim x → 4 ⁡ x 2 - 3 x - 4 x - 4

Passo 1

FALA AÍÍÍ!! Se você reparar, não podemos substituir x = 1 na equação. Se substituirmos, o denominador seria zero ahaha. Assim, para calcular esse limite podemos fatorar o numerador e o denominador pra facilitar nossa vida!

Passo 2

Vamos primeiro fatorar o numerador x 2 - 3 x - 4 . Para encontrarmos as raízes da equação

x 2 - 3 x - 4 = 0

Utilizaremos a fórmula de Bhaskara

x = - b ± ∆ 2 a

Beleza?!

Primeira coisa que precisamos fazer é identificar quem é o a , b e c . Lembra da carinha da nossa equação do 2º grau? Ela tem essa carinha aqui

a x 2 + b x + c = 0

Então, comparando com a nossa equação

x 2 - 3 x - 4 = 0

Conseguimos encontrar os valores de a , b e c :

a = 1

b = - 3

c = - 4

Beleza?! Agora vamos utilizar esses valores para encontrar o ∆ :

∆ = b 2 - 4 a c

Substituindo os valores a = 1 , b = - 3 e c = - 4 , temos

∆ = - 3 2 - 4 1 - 4

Fazendo as continhas, temos

∆ = 9 + 16

∆ = 25

Agora podemos substituir o valor de ∆ = 25 e os demais valores na fórmula de Bhaskara:

x = - - 3 ± 25 2 1

x = 3 ± 5 2

Teremos então duas raízes:

x 1 = 3 + 5 2 = 8 2 = 4

E

x 2 = 3 - 5 2 = - 2 2 = - 1

Portanto, as raízes da equação são 4 e - 1 ! Assim, a nossa equação fatorada será

x 2 - 3 x - 4 = x + 1 x - 4

Beleza?!

Passo 3

Agora vamos escrever o limite que temos no enunciado só que com a fatoração que achamos

lim x → 4 ⁡ x 2 - 3 x - 4 x - 4

lim x → 4 ⁡ x + 1 x - 4 x - 4

OPAAAAA! Se você reparar podemos simplificar os termos x + 1   que temos no numerador e no denominador

lim x → 4 ⁡ x + 1 = 5

Ou seja,

lim x → 4 ⁡ x 2 - 3 x - 4 x - 4 = 5

Beleza?!

Resposta

lim x → 4 ⁡ x 2 - 3 x - 4 x - 4 = 5