Calcule o limite:
Passo 1
Fala aí, vamos ver mais alguns propriedades dos limites com esse exercício aqui que parece ser bem cabeludo, mas que na verdade nós vamos deixar ele bem mais simples de resolver.
Antes, vamos fazer um combinado! Quando uma questão parecer difícil, você respira fundo e olha pra ela com calma tentando simplificar ao máximo sua resolução. Ok?
O que o enunciado pede pra gente é para determinar para qual valor a função se aproximará quando nós fizermos o tender a .
Pra entendermos bem o que faremos, vamos olhar com calma para o limite.
Veja que a função que está ali é uma fração, e essa fração ainda está dentro de uma raiz cúbica.
Para resolver esse limite faremos uso de algumas propriedades que vão deixar tudo bem mais simples. Vamos ver a primeira no próximo passo.
Passo 2
Bom, a primeira propriedade que iremos usar, diz pra gente que quando temos uma função dentro de uma raiz, nós podemos passa o limite pra dentro dela, calcular o limite do que está lá dentro, e só depois resolver a raiz.
Vai ficar assim, ó:
Assim, essa raiz cúbica não será mais um problema pra gente.
Passo 3
Agora vamos olhar o que ficou dentro da raiz. Ficamos com o limite de pra resolver, e como é uma fração, podemos calcular o limite do numerador e do denominador separadamente, e essa é mais uma propriedade dos limites que podemos usar aqui. Assim, ficamos com:
Show, ainda dá para melhorar um pouco mais.
Passo 4
Agora repara que em cada um desses limites que sobraram, temos funções polinomiais com vários termos. Uma outra propriedade dos limites diz pra gente que podemos calcular o limite de cada termo separadamente e depois juntarmos tudo. Além disso, ainda podemos colocar o que for constante pra fora do limite multiplicando na frente dele. Com isso transformamos nosso limite:
Em:
Maravilha, agora chegou a hora de resolver de fato o limite!
Passo 5
Perceba que o que fizemos foi transformar o limite que era:
Em
E assim poderemos aplicar o limite em cada pedacinho separadamente. Pra isso a gente retira o operado e substitui o valor de por em todos os lugares que aparecer o . Aí ficaremos com:
Com isso, só nos resta resolver essa expressão que sobrou. Lembrando sempre de resolver primeiro as potências de dentro, depois as multiplicações, somas e subtrações do numerador e denominador, e só por último você tira a raiz cúbica do que sobrou.
Vamos lá:
Primeiro as potências. Como são potências de base negativa , nós olhamos os expoentes. Quando o expoente for par, a potências terá resultado positivo, e quando for ímpar, terá resultado negativo. Assim e , ficando com:
Agora as multiplicações:
Somas e dubitações:
Agora só nos resta encontrarmos a raiz cúbica dessa fração que sobrou. Pra isso a gente aplica a raiz em cima e embaixo:
Você se lembra qual o valor que quando multiplicamos por ele mesmo 3 vez, dá como resultado o ? Esse valor é o , porque .
E qual o valor que multiplicado por ele mesmo vezes, tem como resultado o ? Esse valor é o próprio , porque Com isso:
E assim achamos o valor do nosso limite. Eeehhh! 😊
OBS.: Você poderia substituir o valor do por na função diretamente, desde o início da resolução. Dessa forma aqui:
O que torna nossa resolução bem mais direta. Mas isso só é possível de ser feito por causa de todas as propriedades que mostramos na resolução. Então, se você pegou bem o que as propriedades nos permitem fazer, você pode substituir diretamente, sem medo de errar. Mas atenção! É sempre importante você entender as regras, ok?