Exercícios Resolvidos de Matrizes de Formas Bilineares

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Enunciado

Sejam u = ( x 1 , x 2 , , x 3 ) , v = ( y 1 , y 2 , , y 3 ) e f u , v = 4 x 1 y 1 - 7 x 1 y 2 + 4 x 2 y 2 + 3 x 2 y 3 - x 3 y 1 Determine a matriz de f em relação à base canônica do R 3 e use-a para encontrar f ( 2,3 , 1 , ( - 1,2 , 5 ) ) .

Passo 1

Aqui vamos primeiro achar a matriz de f na base canônica e dpois vamos usar a fórmula:

f u , v = u B T f B , C v C

Para encontrar o que foi pedido

Passo 2

Caso não consiga enxergar diretamente como os números vão para a matriz, pra se garantir você pode usar a definição e achar os f ' s dos vetores da base. Então:

  • f ( 1,0 , 0 , 1,0 , 0 ) = 4
  • f 1,0 , 0 , 0,1 , 0 = - 7
  • f ( 1,0 , 0 , ( 0 , 0,1 ) ) = 0
  • f 0,1 , 0 , 1,0 , 0 = 0
  • f 0,1 , 0 , 0,1 , 0 = 4
  • f 0,1 , 0 , 0,0 , 1 = 3
  • f 0,0 , 1 , 1,0 , 0 = - 1
  • f 0,0 , 1 , 0,1 , 0 = 0
  • f 0,0 , 1 , 0,0 , 1 = 0

Jogando os números daqui na matriz temos:

f C a n , C a n =       4 - 7 0       0 4 3 - 1 0       0

Passo 3

Agora, substituindo na fórmula:

u C a n T = 2 3 1

v C a n = - 1       2       5

Teremos :

f 2,3 , 1 , - 1,2 , 5 = 2 3 1       4 - 7 0       0 4 3 - 1 0       0 - 1       2       5 = 7 - 2 9 - 1       2       5

f 2,3 , 1 , - 1,2 , 5 = 34

Resposta

f 2,3 , 1 , - 1,2 , 5 = 34

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Em 2b) você deve ter mostrado que todo produto interno é uma forma bilinear. A recíproca é verdadeira?
Qual é a matriz M 2 × 2 associada à forma bilinear de R 2 × R 2 → R que dá o produto interno usual de R 2 ?
Seja Q (x , y) = x^2 + 12 x y - 4 y^2 . Determine uma base beta tal que[v]_beta = [[[x_1],[y_1]]] e Q (v) = a x_1^2 + b y_1^2
Mostre o resultado afirmado em 10.4 . 2 e use este fato para dar exemplos de formas bilineares simétricas B : R 5 × R 5 → R .
Se A é uma forma bilinear simétrica e Q a forma quadrática associada a ela, mostre que: A v , w = 1 4 Q v + w - 1 4 Q ( v - w )