Exercícios Resolvidos de Matrizes de Formas Bilineares

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Enunciado

Sejam u = x 1 , x 2 , x 3 ,   v = ( y 1 , y 2 , y 3 ) e f u , v = - 2 x 1 y 1 + 2 x 1 y 2 + x 1 y 3 - 5 x 2 y 1 + 3 x 2 y 2 - 3 x 2 y 3 - x 3 y 1 + x 3 y 2 + 2 x 3 y 3 . Determine a forma quadrática q   associada à f

Passo 1

Bem simples, vamos encontrar q ( v ) associada à f . Pra isso só usamos a definição:

q v = f ( v , v )

Passo 2

Teremos:

q x , y , z = f x , y , z , x , y , z

q x , y , z = - 2 x 2 + 2 x y + x z - 5 y x + 3 y 2 - 3 y z - z x + z y + 2 z ²

q x , y , z = - 2 x 2 + 3 y 2 + 2 z 2 - 3 x y - 2 y z

Resposta

q x , y , z = - 2 x 2 + 3 y 2 + 2 z 2 - 3 x y - 2 y z

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Em 2b) você deve ter mostrado que todo produto interno é uma forma bilinear. A recíproca é verdadeira?
Qual é a matriz M 2 × 2 associada à forma bilinear de R 2 × R 2 → R que dá o produto interno usual de R 2 ?
Seja Q (x , y) = x^2 + 12 x y - 4 y^2 . Determine uma base beta tal que[v]_beta = [[[x_1],[y_1]]] e Q (v) = a x_1^2 + b y_1^2
Mostre o resultado afirmado em 10.4 . 2 e use este fato para dar exemplos de formas bilineares simétricas B : R 5 × R 5 → R .
Se A é uma forma bilinear simétrica e Q a forma quadrática associada a ela, mostre que: A v , w = 1 4 Q v + w - 1 4 Q ( v - w )