Determine as reações nos apoios e . Considere constante.
Passo 1
Pessoal!!! E aí, como vocês estão? Prontos para mais uma questão de vigas estaticamente indeterminadas?
Essa questão tras uma viga engastada em e apoiada em e o problema pede para acharmos as reações, que ao todo são 4. Como você já deve saber nós temos apenas 3 equações da estática para o caso bidimensional então vamos precisar de mais uma que vem da linha elástica:
E com essa nova equação vamos poder resolver o sistema que antes era indeterminado.
Então a gente tem que, essencialmente, achar a equação da linha elástica e depois resolver um sisteminha!
Passo 2
Vamos começar fazendo o diagrama de corpo livre:
Observe que existem 4 reações e por isso que precisamos de 4 equações também. De qualquer forma vamos escrever as equações da estática para ver o que temos:
- Para o eixo vertical:
- Para o eixo horizontal:
- Para o momento:
Aqui vamos aplicar o momento em relação ao ponto e considerar o sentido anti-horário positivo.
Percebam que a única força que podemos achar com essas equações é a força , que é nula, fora isso não temos mais muito o que fazer. Então partiu pra linha elástica!
Passo 3
Agora vamos achar a equação da linha elástica. Essa é a parte mais crucial da questão!
Para achar a linha elástica a gente precisa lembrar da equação, caso você não lembre é essa aqui:
Então a gente precisa da equação do momento fletor . Vamos utilizar equações de descontinuidade e para isso fica mais fácil se fizermos para a força cortante primeiro:
Agora é só integrar e achar o momento
Onde é o momento no engaste
Assim vamos ter:
Passo 4
Vamos substituir a equação do momento fletor lá na nossa equação da linha elástica!
Agora vamos derivar a primeira vez
lembrando que o valor é uma constante.
Pessoal, essa é a equação da angulação belezinha? Lembrem-se !
Continuando vamos fazer a segunda integração.
Show de bola! Achamos nossa equação da linha elástica mas ainda temos de achar o valor das constantes e . Para isso vamos utilizar as condições de contorno relativos aos apoios!
Passo 5
As condições de contorno são dadas pela nossa tabelinha!
Então nós vamos ter as seguintes condições de contorno.
No engaste:
Na rótula:
Perceba que na rótula a viga está livre para rotacionar!
Belezinha! Agora é só substituir essas três condições de contorno na equação que temos da linha elástica!
Substituindo
obs: Perceba que vamos utilizar a equação da angulação () e não a da deflexão (). Lembre também que
Essa é a nossa 4ª equação!! Agora é só voltar nas equações do passo 2 e resolver o sistema!
Passo 6
As equações que temos então são:
Resolvendo nós vamos ter que:
Resposta
Reações: