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Exercícios Resolvidos de Método de Runge-Kutta

Exercício 31245678910

Enunciado

Aplique o método de Runge-Kutta de 2ª ordem à equação y ' = sen ⁡ x y tal que y 1 = 1 para calcular y 1.2 com h = 0.2 .

Passo 1

Opa!! Agora vamos trabalhar com os mesmos dados do exercício anterior, só que a questão está nos pedindo para aplicarmos o método de Runge-Kutta de 2ª ordem, certo?! Então utilizaremos

y n + 1 = y n + h 2 f x n , y n + f x n + 1 , y n + h f x n , y n

Show de bola?!

Então vamos lá! Pelo enunciado temos as seguintes informações

y ' = sin ⁡ x y

y 0 = 1

x 0 = 1

E com passo h = 0.2 precisaremos de apenas uma iteração para aproximar y 1.2 :

y 1 ≅ y 1.2

Beleza?!

Passo 2

Então recapitulando... estamos trabalhando com a fórmula abaixo por ser o método de Runge-Kutta de 2ª ordem

y n + 1 = y n + h 2 f x n , y n + f x n + 1 , y n + h f x n , y n

Ou seja, para a 1ª iteração, teremos

y 1 = y 0 + h 2 f x 0 , y 0 + f x 1 , y 0 + h f x 0 , y 0

Sabemos que a função que estamos trabalhando é f x , y = s e n ( x y ) , assim

y 1 = 1 + 0.2 2 s e n 1 ∙ 1 + s e n 1.2 ,   1 + 0.2 ( s e n 1 ∙ 1

y 1 = 1 + 0.2 2 s e n 1 ∙ 1 + s e n 1.2 ,   1 + 0.2 ( 0.84147

y 1 = 1 + 0.2 2 s e n 1 ∙ 1 + s e n 1.2 ∙ 1.168294

y 1 = 1 + 0.2 2 s e n 1 ∙ 1 + 0.9857798

y 1 =   1.182725

Logo,

y 1.2 = 1.182725

Beleza?!

Resposta

y 1.2 = 1.182725