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Exercícios Resolvidos de Método de Runge-Kutta

Exercício 81234567910

Enunciado

Aplique o método de Runge-Kutta de 4ª ordem à equação y ' = sin ⁡ x y tal que y 1 = 1 para calcular y 1.2 com h = 0.2 . A resposta será:

  1. 1.18517
  2. 2 . 18517
  3. 1 . 1 9856
  4. 2 . 29856
  5. 0

Passo 1

Fala Aíí!! A questão está nos pedindo para aplicarmos o método de Runge-Kutta de 4ª ordem, certo?! Então utilizaremos

y n + 1 = y n + 1 6 k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4

Show de bola?!

Então vamos lá! Pelo enunciado temos as seguintes informações

y ' = sin ⁡ x y

y 0 = 1

x 0 = 1

E com passo h = 0.2 precisaremos de apenas uma iteração para aproximar y 1.2 :

y 1 ≅ y 1.2

Beleza?!

Passo 2

Agora é só jogar na fórmula!

y n + 1 = y n + 1 6 k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4

Como vamos precisar de apenas uma iteração, então calcularemos

y 1 = y 0 + 1 6 k 1 0 + 2 k 2 0 + 2 k 3 0 + k 4 0

Precisamos encontrar o k 1 0 , k 2 0 , k 3 0 e k 4 0 !

Iteração 1 x = 1.2

Vamos calcular o k 1 0 :

k 1 0 = h f x 0 , y 0 = h sin ⁡ x 0 y 0 = 0.16829

Agora, calculando k 2 0 :

k 2 0 = h f x 0 + h 2 , y 0 + k 1 0 2

Temos que nossa função é s e n ( x y ) , assim

k 2 0 = h sen ⁡ x 0 + h 2 y 0 + k 1 0 2

Substituindo os valores, temos

k 2 0 = 0.2 sen ⁡ 1 + 0.2 2 1 + 0.16829 2

Fazendo as continhas, temos

k 2 0 = 0.18586

Passo 3

Vamos continuar o mesmo raciocínio para calcular k 3 0

k 3 0 = h f x 0 + h 2 , y 0 + k 2 0 2

Substituindo os valores e fazendo as continhas, temos

k 3 0 = h sin ⁡ x 0 + h 2 y 0 + k 2 0 2 = 0.18657

Analogamente, para calcular k 4 0 utilizaremos

k 4 0 = h f x 0 + h , y 0 + k 3 0

Assim, substituindo os valores e fazendo as continhas

k 4 0 = h sin ⁡ x 0 + h y 0 + k 3 0 = 0.19785

Show de bola?!

Passo 4

Agora vamos substituir os valores de k 1 0 , k 2 0 , k 3 0 e k 4 0 que encontramos na fórmula

y 1 = y 0 + 1 6 k 1 0 + 2 k 2 0 + 2 k 3 0 + k 4 0

Teremos

y 1 = 1 + 1 6 0.16829 + 2 0.18586 + 2 0.18657 + 0.19785

Fazendo as continhas, temos

y 1 = 1.18517

Logo,

y 1.2 = 1.18517

Resposta

L e t r a   A