Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Método de Runge-Kutta

Exercício 71234568910

Enunciado

Dado o problema de valor inicial

y ' = x 2 + 2 y x y 1 = 2

Determine uma aproximação para y 1.3 , com h = 0.3 usando o método de Runge-Kutta de 4ª ordem.

Passo 1

Fala Aíí!! A questão está nos pedindo para aplicarmos o método de Runge-Kutta de 4ª ordem, certo?! Então utilizaremos

y n + 1 = y n + 1 6 k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4

Show de bola?!

Temos as seguintes informações do enunciado:

y ' = x 2 + 2 y x

y 0 = 2

x 0 = 1

E com passo h = 0.3 precisaremos de apenas uma iteração para aproximar y 1.3 :

y 1 ≅ y 1.3

Passo 2

Agora é só jogar na fórmula!

y n + 1 = y n + 1 6 k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4

Como vamos precisar de apenas uma iteração, então calcularemos

y 1 = y 0 + 1 6 k 1 0 + 2 k 2 0 + 2 k 3 0 + k 4 0

Precisamos encontrar o k 1 0 , k 2 0 , k 3 0 e k 4 0 !

Passo 3

Iteração 1 x = 1.3 :

k 1 0 = h f x 0 , y 0 = h x 0 2 + 2 y 0 x 0 = 1.5

k 2 0 = h f x 0 + h 2 , y 0 + k 1 0 2

Utilizando a função dada no enunciado:

k 2 0 = h x 0 + h 2 2 + 2 y 0 + k 1 0 2 x 0 + h 2 = 1.77978

Utilizaremos o mesmo raciocínio para encontrar k 3 0 :

k 3 0 = h f x 0 + h 2 , y 0 + k 2 0 2

Utilizando a função dada no enunciado:

k 3 0 = h x 0 + h 2 2 + 2 y 0 + k 2 0 2 x 0 + h 2 = 1.85276

Análogo para k 4 0 :

k 4 0 = h f x 0 + h , y 0 + k 3 0

Utilizando a função dada no enunciado:

k 4 0 = h x 0 + h 2 + 2 y 0 + k 3 0 x 0 + h = 2.16820

Passo 4

Agora vamos substituir os valores de k 1 0 , k 2 0 , k 3 0 e k 4 0 que encontramos na fórmula

y 1 = y 0 + 1 6 k 1 0 + 2 k 2 0 + 2 k 3 0 + k 4 0 = 3.82222

Logo,

y 1 . 3 = 3.82222

Resposta

y 1.3 = 3.82222