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Exercícios Resolvidos de Método de Runge-Kutta

Exercício 61234578910

Enunciado

Aplique o método de Runge-Kutta de 3ª ordem à equação y ' = sin ⁡ x y tal que y 1 = 1 para calcular y 1.2 com h = 0.2 .

Passo 1

Boooora!! A questão utiliza as mesmas informações dos exercícios anteriores, mas agora temos que aplicar o método de Runge-Kutta de 3ª ordem, certo?! Então utilizaremos

y n + 1 = y n + 2 9 k 1 + 1 3 k 2 + 4 9 k 3

Show de bola?!

Então vamos lá! Pelo enunciado temos as seguintes informações

y ' = sin ⁡ x y

y 0 = 1

x 0 = 1

E com passo h = 0.2 precisaremos de apenas uma iteração para aproximar y 1.2 :

y 1 ≅ y 1.2

Beleza?!

Passo 2

Agora é só jogar na fórmula!

y n + 1 = y n + 2 9 k 1 + 1 3 k 2 + 4 9 k 3

Como vamos precisar de apenas uma iteração, então calcularemos

y 1 = y 0 + 2 9 k 1 0 + 1 3 k 2 0 + 4 9 k 3 0

Precisamos encontrar o k 1 0 , k 2 0 e k 3 0 !

Iteração 1 x = 1.2

Vamos calcular o k 1 0 :

k 1 0 = h f x 0 , y 0 = h sin ⁡ x 0 y 0 = 0.16829

Agora, calculando k 2 0 :

k 2 0 = h f x 0 + h 2 , y 0 + k 1 0 2

Temos que nossa função é s e n ( x y ) , assim

k 2 0 = h sen ⁡ x 0 + h 2 y 0 + k 1 0 2

Substituindo os valores, temos

k 2 0 = 0.2 sen ⁡ 1 + 0.2 2 1 + 0.16829 2

Fazendo as continhas, temos

k 2 0 = 0.18586

Passo 3

Vamos continuar o mesmo raciocínio para calcular k 3 0

k 3 = h f x n + 3 4 h , y n + 3 4 k 2

Substituindo os valores e fazendo as continhas, temos

k 3 0 = h s e n ⁡ x 0 + 3 4 h , y 0 + 3 4 k 2

k 3 0 = 0.2 s e n ⁡ 1 + 3 4 0.2 , 1 + 3 4 0.18586

k 3 0 = 0.2 sen ⁡ 1.15 ∙ 1.139395 =   0.1932526716

Show de bola?!

Passo 4

Agora vamos substituir os valores de k 1 0 , k 2 0 e k 3 0 que encontramos na fórmula

y 1 = y 0 + 2 9 k 1 0 + 1 3 k 2 0 + 4 9 k 3 0

Teremos

y 1 = 1 + 2 9 0.16829 + 1 3 0.18586 + 4 9 0.1932526716

Fazendo as continhas, temos

y 1 = 1.1852

Logo,

y 1.2 = 1.1852

Resposta

y 1.2 = 1.1852