Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Soma de Funções
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EDO de 2ª Ordem não Homogênea
(a) Determine a solução geral da equação
(b) Para que valores de e obtemos solução limitada em , isto é,
para alguma constante ?
Passo 1
(a)
A equação é não homogênea, então a solução geral é
onde é a solução homogênea e é a solução particular.
Vamos começar achando a solução homogênea ! A equação homogênea é a mesma mas com 0 do lado direito:
Repare que a equação já está na forma
com , , .
O discriminante vai ser:
A equação auxiliar é:
Então a solução da equação homogênea é
Passo 2
Por enquanto tá tranquilo, né? Agora que vai ficar mais tenso, vamos achar a solução particular! A equação é
Temos que determinar qual vai ser o nosso “chute” pra . Vamos começar identificando a função do lado direito da equação.
Temos a soma de uma função polinomial de grau 1 ( com uma função trigonométrica (), então nossa solução particular também vai ser algo do tipo!
Vamos fazer
Não botei nenhum pra não confundir com o e o , beleza?
Passo 3
Agora vamos derivar esse treco!
E a derivada segunda vai ser:
Passo 4
Substituindo na EDO:
Passo 5
Comparando os 2 lados da equação, chegamos à conclusão que
A segunda equação dá
E a primeira
Logo
Pela última equação, temos
O que na terceira equação dá
Passo 6
Excelente! Isso significa que a solução particular é:
E a gente já achou a solução homogênea
Logo, a solução geral da EDO é
Uhuul! :)
Passo 7
(b)
Agora ele quer saber se dá pra achar valores de e que deixem essa limitada.
Vejamos, se a gente botar já elimina metade dela! E e já são limitadas! Mas ainda sobrou aquele termo , e esse meu amigo, não tem como anular. Ou seja, não tem nenhuma condição inicial que faça a gente sempre ter .
Resposta
(a)
(b)
Não existem esses valores.