Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Soma de Funções
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UFRJ, Cálculo 2, P1 2014.1, questão Discursiva 1b
Encontre as soluções das equações:
b)
Passo 1
Nossa receita para resolver EDOs dessa forma envolve determinar a solução da EDO homogênea associada
Nossa equação característica é:
Passo 2
A solução da homogênea é da forma:
Onde são números reais quaisquer
Passo 3
Falta ainda determinar uma solução particular da EDO original:Para isso vamos achar uma solução para quando o termo homogêneo for e outra para quando o termo homogêneo for
Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados.
1º) Vamos tentar chutar, sim é chute mesmo, com o tempo você vai ficando melhor no chute.
Vamos chutar um polinômio do primeiro grau. Mas de onde veio esse chute? Esse chute vem de tentar resolver a EDO com termo independente .
Substituindo esses valores na EDO vamos ficar com:Igualando os coeficientes temos o sistema:
Cuja solução é:
Quando o termo independente for vamos chutar
Logo continuando a conta vamos ter :
Passo 4
Portanto uma solução é da forma:
Vamos usar agora as condições iniciais:
Vamos montar o sistema então:
Cuja solução é
Passo 5
Nossa solução é então
Resposta
b)