Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Soma de Funções
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Encontre a solução geral da equação diferencial abaixo:
Passo 1
Encontrar solução homogênea:
Vamos ver a equação característica:
Assim, a solução homogênea será:
Passo 2
Encontrar com coeficientes a determinar:
Agora é uma soma de diferentes funções:
- Função exponencial:
- Função trigonométrica:
- Função polinomial:
Então será também uma soma desses tipos de funções:
Passo 3
Verificar se a solução particular não é solução geral da equação homogênea:
Nessa EDO, essa solução não satisfaz a equação homogênea! Embora na homogênea tenha uma exponencial, são exponenciais diferentes. Uma é elevada a 2 e a outra a .
Passo 4
Encontrar derivadas de :
Passo 5
Substituir na equação e encontrar constantes:
Poderíamos substituir diretamente as derivadas e comparar os dois lados para encontrar as constantes:
Mas acho que fica mais claro e organizado se separarmos por cada tipo de função:
- Exponencial
- Trigonométrica
- Polinomial
E agora substituindo apenas a parte exponencial:
E agora substituindo apenas a parte trigonométrica:
Resolvendo o sistema:
E agora substituindo apenas a parte polinomial:
Resolvendo o sistema:
Ótimo! Encontramos todas as constantes:
Não se preocupe se algumas constantes forem “feias”! Isso pode acontecer algumas vezes, não significa necessariamente que você errou algum cálculo!
Passo 6
Encontrar substituindo constantes encontradas:
Substituindo as constantes:
Passo 7
Encontrar solução geral: