Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Soma de Funções
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EDO de 2ª ordem não homogênea
- Determine a solução geral da equação
- Utilize o resultado do item (a) para determinar a solução geral da equação
- Utilize o resultado do item (b) para determinar a solução do problema de valor inicial
Passo 1
Vamos resolver o item (a):
Colocar a EDO na forma :
Ótimo! A equação já está na forma que queremos!
Passo 2
Encontrar , e :
Comparando as equações:
Logo:
Passo 3
Verificar discriminante: , ou ?
Passo 4
Encontrar raízes da equação auxiliar:
Cálculo das raízes:
Logo:
Passo 5
Encontrar a solução:
Item (a) resolvido! Vamos ao item (b)!
Passo 6
Basta encontrar agora a solução particular da EDO não homogênea!
Colocar a EDO na forma :
A equação já está nessa forma:
Passo 7
Encontrar solução homogênea:
Acabamos de resolver:
Passo 8
Encontrar com coeficientes a determinar:
A função é uma soma de diferentes funções:
- Função polinomial:
- Função exponencial:
Então será também uma soma desses tipos de funções:
Passo 9
Verificar se a solução particular não é solução geral da equação homogênea:
Nessa EDO, essa solução satisfaz a equação homogênea!
Pois o termo está na solução da equação homogênea.
Portanto, temos que multiplicar por a solução exponencial em :
Passo 10
Encontrar derivadas de :
Passo 11
Substituir na equação e encontrar constantes:
Resolvendo o sistema:
Passo 12
Encontrar substituindo constantes encontradas:
Substituindo as constantes:
Passo 13
Encontrar solução geral:
Legal! Item (b) resolvido! Partiu item (c) agora!
Passo 14
Resolver PVI:
Calcular derivada:
Calcular e :
Substituir condições iniciais dadas:
Resolvendo o sistema:
Substituindo na solução geral, encontramos a solução particular do PVI:
E pronto! Item (c) resolvido! Fim!