Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Soma de Funções
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Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
Bem, antes de qualquer coisa a gente tem que buscar a resolução dessa integral de ordem não homogênea. E como a gente faz isso? Exatamente! Resolvendo a homogênea :
E depois resolvendo a particular . Bora lá?
Passo 2
Para a gente encontrar a solução da homogênea, vamos resolver pela equação característica.
Essa equação é muuuito parecida com a própria EDP homogêne, veja só:
Resolvendo então a equação característica
Ou seja
Logo, uma solução da homogênea será
Passo 3
Mas epa! Toda homogênea tem duas soluções! Onde está a outra?
Bem, aqui não tem muito por onde correr! Temos que chutar uma outra solução e verificar se vai funcionar por coeficientes a determinar.
Como uma solução deu algo do tipo , para outra solução devemos chutar . Derivando esse chute inicial duas vezes não se esquecendo de aplicar a regra do produto e depois da cadeia:
Derivando novamente para obter lembrando que a derivada da soma é a soma das derivadas...
Calculando cada uma dessas derivadas
Tirando dos parêntesis...
Substituindo esses caras que calculamos na EDP homogênea
Teremos
Unindo esses termos semelhantes (vão cortar) ganharemos...
Como nunca é , a única que pode ser é
Passo 4
Pow, se , a derivada de quem é zero? Isso! A constante! Então só pode ser uma constante para a derivada dela zerar:
Se integrarmos dos dois lados
Lembrando que , então
Logo, a segunda solução da homogênea será:
Observe que é a mesma coisa da primeira solução que encontramos então não precisa considerar a primeira, sacou? Ficando assim a solução da homogênea
Passo 5
Bem, não podemos prosseguir sem a solução particular .
Pra encontrar essa solução, novamente vamos usar o nosso “chutômetro”!
Se a tem como equação independente devemos “chutar”, combinações dessas! Veja só:
A particular será:
Repare que no primeiro termo colocamos uma combinação do tipo porque a homogênea já nos dá resultado com combinações de menor grau.
Enquanto que na segunda parcela, colocamos apenas , pois não encontramos nada parecido antes, percebeu? Caso contrário escolheríamos e assim por diante!:)
Passo 6
Mas enfim, mãos a obra: derivando aplicando a regra da soma:
Aplicando a regra do produto em cada parcela (e a regra da cadeia também):
Calculando agora a segunda derivada
A derivada da primeira parcela já foi calculada
Calculando a derivada da segunda
E agora da terceira
Tirando os parênteses
Bora juntar tudo na ?
Passo 7
A é
Jogando todos os nossos carinhas que determinamos aí:
Se acalma, pois muita coisa vai cortar, vem comigo tirando dos parênteses
Vamos agora unir os termos semelhantes
Esses montes de termos coloridos vão se cortar e vai sobrar
Comparando temos que
Logo a solução particular é:
Passo 8
Bem, se temos a solução homogênea e temos a particular temos a solução geral :
Agora, quem são esses e ?
Bem, são constantes que par determina-las vamos usar a condição inicial dada no problema:
Fazendo na equação de temos
Pela condição que
Para obter , fazemos , lembrando que essas derivadas já estão calculadas (Passo 3 e Passo 6).
Como , e
Substituindo
Como
Portanto a solução do problema inicial é