Uma cultura de bactérias começa com bactérias e cresce a uma taxa proporcional a seu tamanho. Após horas existem bactérias na amostra. Em horas serão:
- bactérias
- bactérias
- bactérias
- bactérias
- bactérias
Passo 1
Fala aí, tudo joia?
A questão deu para gente uma relação entre um valor e a taxa de variação dele. Isso é o mesmo que uma relação entre uma função e a derivada dela, o que é uma equação diferencial!
Então a gente precisa montar uma EDO e resolvê-la usando os dados do enunciado.
Então, sendo a quantidade de bactérias após horas, pelo enunciado a gente tem que:
(quantidade inicial)
(quantidade após duas horas)
Com isso a gente consegue achar Vem comigo!
Passo 2
Ele diz que a taxa de variação da quantidade de bactérias é proporcional à quantidade de bactérias. A gente sabe que taxa de variação é dada pela derivada, logo temos que:
Onde esse é uma constante de proporcionalidade, tranquilo?
Passo 3
Essa equação é típica de um problema de modelagem de crescimento populacional. Ela é separável e a solução dela é da forma:
(sim, é bom ter essa solução gravada pra facilitar as coisas😊)
Passo 4
Agora a gente precisa descobrir esse e esse .
Vamos usar aquelas informações do enunciado:
Usando a primeira informação:
Show! Já achamos nosso ! Vamos achar nosso agora😉
Passo 5
Seguindo na mesma equação:
Só que agora já podemos reescrever como:
Substituindo a condição::
E resolvendo a equação:
Pra achar aquele ali, vamos aplicar o logaritmo dos dois lados pra eliminar essa exponencial, beleza?
Passo 6
Vamos lá:
E olha que legal, com isso aquele pode sair dali, porque: :
E achamos nosso ! Nossa equação então é:
Passo 7
Com podemos achar , apenas substituindo o :
Vamos usar umas propriedades de logaritmos para fazer essa conta:
Esse que está na frente do pode ir para dentro do em forma de expoente no , assim:
Como isso, poderemos cortar o com o novamente. E teremos:
Logo, a nossa resposta é a letra c. 😊
Resposta
Letra c