Uma tigela de sopa sai do aparelho de micro-ondas a e é levada para uma sala onde a temperatura é de . A lei de resfriamento de Newton afirma que a taxa de resfriamento é proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e sua vizinhança. Sabemos também que esta sopa esfria a uma taxa de por minuto quando sua temperatura é de :
Escreva a equação diferencial que expressa a lei de resfriamento de Newton nesta situação particular.
Passo 1
E aí, tudo joia?
a) Vamos com calma, você não precisa saber a lei de resfriamento de Newton. Vamos encontra-la através do Cálculo! Repara que ele explicou direitinho como é essa lei né? Vamos entender bem essa parada.
Primeiro vamos fazer sendo a temperatura em do objeto.
Esse vai ser o tempo, repara que o enunciado nos dá a taxa em por minuto, assim vamos fazer em minutos para facilitar nossa vida.
Além disso, ele disse que a lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de resfriamento é proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e sua vizinhança. “Taxa de resfriamento” quer dizer a taxa que a temperatura varia, ou seja, a derivada de . Assim:
Esse que colocamos aí, é justamente porque ele disse que é proporcional, então ele é nossa constante de proporcionalidade.
Passo 2
Continuando...
No enunciado ele diz que a temperatura na vizinhança (aqui é a temperatura da sala) vai ser:
Substituindo ali, vamos ter a seguinte EDO para achar :
Passo 3
Você pode olhar e achar que está certinha essa EDO né? Mas temos um ali. Precisamos achar o seu valor. Repara que ele diz no enunciado que
“esta sopa esfria a uma taxa de por minuto quando sua temperatura é de :”
Isso nos diz que
A taxa vai ser porque a temperatura está diminuindo. Então vamos substituir essas informações:
Agora temos uma equação, e basta isolarmos o :
Show, achamos o valor da constante de proporcionalidade. Agora vamos reescrever nossa EDO:
Prontinho! 😊