Dois compostos químicos e são combinados para formar um terceiro composto . A taxa ou velocidade da reação é proporcional à quantidade instantânea de e não convertida em .
Inicialmente há 40 gramas de e 50 gramas de , e para cada grama de 2 gramas de são usados. É observado que 10 gramas de são formados em 5 minutos. Qual é a quantidade remanescente de e depois de um longo período de tempo?
Passo 1
Olá, tudo bem?
Pra resolvermos essa questão, temos primeiro que chegar na equação da variação de com o tempo.
Para isso temos que resolver uma equação separável que usada em problemas de misturas.
Montaremos nossa fórmula a partir da quantidade inicial dos reagentes , que foi consumida pra formar o produto . A reação nos diz que precisamos do dobro de para cada quantidade de :
Escrevendo em função de , teremos:
Passo 2
A quantidade de não convertida em , é dada por:
E temos que a taxa de variação é proporcional a isso, então:
Como inicialmente temos , substituímos:
Passo 3
Vamos escrever essa equação naquele formato de resolução de equação separável que já estamos acostumados, colocando tudo que tem para a esquerda e o que tem para a direita:
Integrando o lado esquerdo, vamos utilizar aquele método das frações parciais.
Cortando os denominadores e fazendo a distributiva:
Passo 4
Igualando os coeficientes correspondentes:
Disso obtemos o sistema.
Da segunda temos:
Substituindo na primeira:
E então temos:
Passo 5
Substituimos os valores encontrados de e , e partiremos para a integral:
Para resolver essa primeira integral do lado direito, podemos pensar em uma mudança de variável...
Substituindo:
E voltando para :
Passo 6
A segunda agora:
Da mesma forma, aqui podemos fazer a substituição:
Substuindo:
Voltando para :
Passo 7
Juntando as duas agora:
Usando a propriedade da subtração de logaritmo:
Passo 8
Integrando o lado direito:
Igualando os dois lados da equação vamos ter:
Aplicando logaritmo dos dois lados:
Passo 9
Vamos juntar as frações ali em cima:
e
Substituindo:
Cortando os nos denominadores:
Isolando o agora:
Trocando por uma nova contante para facilitar os cálculos
Passo 10
No problema ele diz que após 5 minutos são formados 10 gramas de C e devemos assumir também que no tempo inicial a quantidade de C é zero. Logo:
Substituindo, temos:
Passo 11
Como :
Passo 12
Sabemos que a quantidade de e para um tendendo ao infinito será dada pela expressão abaixo.
Calculemos o limite de quando tende ao infinito, sendo :
Aplicando a regra de L’Hospital
Substituindo o valor nas expressões que temos.
E finalmente acabamos!