Suponha que no instante , a metade de uma população de coelhos é infectada por um vírus que começa crescendo com uma taxa de coelhos por dia. Assumindo que a taxa com que o vírus se espalha é proporcional à quantidade de coelhos infectados vezes a quantidade de coelhos não infectados, determine o tempo que levará para que o vírus se espalhe por da população.
Passo 1
Opa! Tudo bem? Vamos começa entendendo esse problema...
Chamemos de a quantidade de coelhos infectados e a população total de coelhos.
A quantidade de coelhos não infectados então é: .
A taxa com que o vírus se espalha é a taxa com que coelhos são infectados, e como ela é proporcional à quantidade de coelhos infectados , vezes a quantidade de coelhos não infectados , temos:
Onde é a constante de proporcionalidade.
Passo 2
O problema diz que a taxa inicial é coelhos por dia. Sempre que falarmos de início, é em , beleza?
Então:
E também diz que metade da população está infectada inicialmente.
Então:
Com essas informações temos um PVI:
Passo 3
Queremos descobrir o tempo para o qual:
Ou seja, em que tempo a quantidade de coelhos infectados é igual a da população total.
Como e são conhecidos, podemos calcular a constante substituindo seus valores na EDO:
Substituindo:
Passo 4
Vamos agora encontrar a solução geral.
Colocando a derivada na forma em vez de e escrevendo apenas em vez de ficamos com:
Está ficando com uma carinha de EDO separável, não é mesmo. Vamos multiplicar cruzado:
Separar tudo que tem para o lado do e tudo que tem para o lado do :
E assim chegamos a nossa EDO separável! Agora é partir pra solução dela.
Passo 5
Integrando os dois lados:
Para integrar o lado esquerdo da equação, precisamos desmembrar em frações parciais:
Pra isso ser uma igualdade verdadeira, precisamos que:
Passo 6
Daí, tiramos que:
Substituindo:
Logo:
Passo 7
Substituindo na nossa equação lá de cima:
A primeira e a última integral são tranquilas:
Nessa integral daí, podemos resolver por uma mudança de variável:
Derivando (levando em consideração que é constante) temos:
Logo...
Como ...
Passo 8
Queremos isolar :
Como apareceu um , vamos aplicar a exponencial nos dois lados:
Substituindo , já que ambos são constantes...
Multiplica cruzado:
Ufaa! Isolamos !
Passo 9
Vamos resolver o PVI agora, usando:
Substituindo na solução geral:
Substituindo condição inicial:
(Multiplica cruzado:)
Substituindo valor da constante na solução geral:
Passo 10
Agora vamos encontrar tal que :
Basta substituir para encontrar correspondente:
Aplicando logaritmo dos dois lados:
Substituindo valores de e que achamos ali em cima:
Então em aproximadamente 35 dias o vírus terá se espalhado por da população.