Um trenó foguete com velocidade inicial de 150 milhas/h (cerca de 241km/h) tem sua velocidade diminuída por um canal de água. Suponha que durante o processo de freagem a aceleração é dada por , onde é a velocidade e é uma constante.
- Use a relação para escrever a equação de movimento em função de e de .
- Se é necessária uma distância de 2000 pés (cerca de 609.6m = 0,6096 km) para o trenó atingir a velocidade de 15 milhas/h (cerca de 24,1 km/h), determine o valor de
- Encontre o tempo necessário para o trenó atingir a velocidade de 15 milhas/h.
Passo 1
Opa! Vamos ver mais essa aqui?
- No item (a), ele quer que a gente escreva a equação diferencial em função de e . Vamos botar a mão na massa.
- Pra acharmos o valor de a partir da distância temos que resolver a equação separável que encontramos na letra a.
Sabemos que:
Substuindo aqui:
Essa é a equação de movimento! E essa EDO é de que tipo? Acertou se falou separável!
Passo 2
Primeiro vamos escrevê-la da forma separável:
Agora integramos dos dois lados:
Passo 2
Resolvendo...
Onde C é uma constante que a gente adiciona por estarmos lidando com integrais indefinidas.
Aplicando exponencial dos dois lados:
Trocando a constante por uma outra constante .
Passo 3
Para acharmos os valores de e de temos que usar as informações iniciais que ele nos dá:
e
Substituindo:
Aplicando logaritmo dos dois lados:
Podemos cortar o e o , fincando com:
Usando uma calculadora esperta, vamos achar:
Passo 4
c) Para resolvermos essa letra temos que resolver:
Porquê? Porque ele quer relacionar velocidade e tempo e não velocidade e espaço como nos outros itens!
Escrevendo naquele formato característico de resolver equação separável e integrando de ambos os lados:
Resolvendo cada uma das integrais, teremos:
Igualando de novo:
Onde D é uma constante.
Passo 5
Vamos substituir o valor da velocidade inicial, para achar .
Assim teremos:
Passo 6
Calculando tal que
Transformando em segundos...
Esse é o tempo necessário😊
Resposta
a)
b)
c)