Uma doença rara se espalha em uma aldeia indígena de habitantes, e a taxa de variação das pessoas infectadas é proporcional ao quadrado da quantidade de pessoas infectadas vezes a quantidade de pessoas não infectadas. Inicialmente, há apenas uma pessoa infectada, porém após um dia, pessoas estão infectadas. Qual alternativa é o modelo matemático apropriado para estudar a evolução dessa doença?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Nenhuma das outras opções
Passo 1
E aí, beleza?
Vamos chamar de a quantidade de pessoas infectadas em função dos dias, show?
O enunciado diz que “inicialmente, há apenas uma pessoa infectada”. Esse “inicialmente” é o dia zero, então quando , . Ou seja,
Ok, vamos caminhar...
Passo 2
Ele também diz que “após um dia, pessoas estão infectadas”. Seguindo o mesmo raciocínio, concluímos que:
Só assim, já eliminamos algumas alternativas! :D
Passo 3
Beleza, agora vamos tentar achar a expressão de , que é a taxa de variação das pessoas infectadas em função do tempo.
E o enunciado fala que essa taxa “é proporcional ao quadrado da quantidade de pessoas infectadas vezes a quantidade de pessoas não infectadas”. Vamos traduzir isso pra matemática?
Em um dia , o número de infectados é . E o número de não infectados, nada mais é que a população total menos o número de infectados!
A população total é fixa em pessoas, então o número de não infectados é . Certo?
Passo 4
Além disso, o quadrado da quantidade de pessoas infectadas, pode ser escrito como:
Então como a taxa é proporcional ao quadrado da quantidade de pessoas infectadas vezes a quantidade de pessoas não infectadas, temos que:
é proporcional a
Sendo uma constante de proporcionalidade, obtemos
ou simplesmente
Juntando essas informações, chegamos na alternativa (a) 😉
Resposta
Alternativa (a)