Suponha que uma gota d’água esférica evapore a taxa proporcional à área de sua superfície. Se o raio mede originalmente mm e h depois foi reduzido a mm, encontre a expressão do raio em função do tempo.
Passo 1
Opa! Vamos ver mais esse probleminha aqui!
A gota d’água evapora a uma taxa proporcional a área da superfície. Então, podemos representar a área da superfície pela relação
Em que é a área da superfície no instante inicial e é a constante de proporcionalidade a determinar.
Passo 2
Vamos começar com , de forma geral, a área da superfície de uma esfera é dada pela expressão
Como no caso o raio inicial é mm, então:
Passo 3
Agora vamos para usando os dados do problema. Considerando em horas, para h, o raio da gota vai ter reduzido para mm, então temos:
Sendo:
Assim, igualando as duas:
Simplificando:
E nossa expressão para área será:
Passo 4
Legal, encontramos a expressão para área, mas o problema quer saber do raio. Substituímos a relação, então:
Isolando o raio, teremos:
Jogamos o quadrado para o lado direito em forma de raiz e tiramos a raiz de todos os valores:
Prontinho! Essa é a expressão do raio em função do tempo😊