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Exercícios Resolvidos de Modelagem - MHS

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Exercício 612345

Enunciado

Determine a solução geral da equação do oscilador harmônico forçado não-amortecido:

d ² y d t ² + y = s e n ω t

Quando:

  1. ω   → 1
  2. ω = 1

Passo 1

Vamos seguir o passo a passo para encontrar a seguinte solução:

y t =   y h t +   y p ( t )

Primeiro, encontramos a solução da equação auxiliar da EDO homogênea

y " + y = 0

r 2 + 1 = 0

∆ = - 4

r = ± i

Assim, como você já está fera em EDO de segunda ordem homogênea, temos:

y h t = c 1 c o s t + c 2 s e n   t

Passo 2

Pronto! Agora partimos para a solução particular, ok ?

Como a f ( x )   =   s e n ⁡ ( ω t ) , vamos chutar uma solução do tipo:

y p t = C cos ⁡ ω t + D sen ⁡ ω t

Passo 3

Calculando suas derivadas...

y ' p t = D ω cos ⁡ ω t - C ω sen ⁡ ω t

y " p t = - C ω 2 cos ⁡ ω t - D ω 2 sen ⁡ ω t

Aplicando essas derivadas na EDO:

- C ω 2 cos ⁡ ω t - D ω 2 sen ⁡ ω t +  C cos ⁡ ωt + D sen ⁡ ωt ⁡ = s e n ⁡ ( ω t )

D ( 1 - ω 2 ) = 1 C 1 - ω 2 = 0

D = 1 1 - ω 2   e   C = 0

Passo 4

Então, a solução do problema tem essa carinha aqui ó

y t =   y h t +   y p t =   c 1 c o s t + c 2 s e n   t + 1 1 - ω 2 sen ⁡ ω t )

Passo 5

Vamos calcular o que se pede

(a) y t quando ω   → 1 ... Como 1 1 - ω 2   → ∞ , não vai ter jeito e a solução y t → ∞ !

Passo 6

(b)Agora, se ω = 1 , teremos a EDO será assim

d ² y d t ² + y = s e n t

A solução da homogênea é a mesma.

Mas observa que a solução y p ( t ) deverá ser do tipo y p t = C tcos ⁡ t + D tsen ⁡ t

Multiplicamos por t   porque a solução homogênena também tem funções trigonométricas com o mesmo argumento.

Passo 7

Agora é calcular aquelas derivadas que você já sabe!

y ' p t = C cos ⁡ t - C tsen ⁡ t + D sen ⁡ t + D t cos ⁡ t

y " p t = - 2 C s e n t - C t c o s t + 2 D c o s t - D t s e n t

Jogando na EDO

- 2 C s e n t - C t c o s t + 2 D c o s t - D t s e n t + C tcos ⁡ t + D tsen ⁡ t = s e n t  

E depois simplificando

- 2 C s e n t + 2 cos ⁡ t = s e n ( t )

Finalmente chegamos em

D = 0 C = - 1 2

Agora estamos prontos para definir a solução geral quando ω = 1

y t =   y h t +   y p t =   c 1 c o s t + c 2 s e n   t - 1 2 t cos ⁡ t

Resposta

(a)

y t =   c 1 c o s t + c 2 s e n   t + 1 1 - ω 2 sen ⁡ ω t )

(b)

y t =   y h t +   y p t =   c 1 c o s t + c 2 s e n   t - 1 2 t cos ⁡ t

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