Calcule a área da figura plana limitada pela curva dada pela equação .
Passo 1
Como ele quer a área devemos integrar a função . Assim, temos que calcular
Onde
Passo 2
Precisamos, então, escrever essa região em uma integral iterada. Lembre-se que ou seja, como temos quadrados na equação, isso é um indicativo de que vamos utilizar coordenadas polares. Veja que podemos reescrever a equação da seguinte maneira:
Para termos variáveis elevadas ao quadrado, podemos fazer a substituição:
A região de integração passa a ser, então:
Passo 3
Como em toda substituição que fazemos, precisamos calcular o Jacobiano:
A integral passa a ser então:
Passo 4
Se você reparar, a região , dada pela equação é um círculo de raio . Vamos, então, utilizar coordenadas polares agora, para finalmente escrever a região de integração na integral iterada. Faremos:
Temos, então e
Passo 5
Reescrevendo a integral em coordenadas polares, temos:
Passo 6
Integrando em relação a temos:
Passo 7
Agora, vamos aplicar as fórmulas do arco duplo e
Aplicando a fórmula novamente temos
Integrando em relação a :