Calcule , onde é a região limitada pela elipse de equação .
Passo 1
Bom, já deu pra perceber que a saída aqui é fazer uma mudança de variáveis elíptica, né? Tanto pela região de intagração (uma elipse) como pelos termos quadráticos na integral.
Como nós temos isso aqui na integral:
Seguindo o mesmo raciocínio que fizemos com as elipses, se chamarmos e , teremos:
Passo 2
Agora, nós temos que fazer a mudança na elipse. Ah, mas não é só escrever para a elipse em coordenadas elípticas? Seria se a gente tivesse feito a mudança na elipse na sua forma geral
O que não aconteceu. Então, nós precisamos sim fazer a mudança na elipse!
Temos isso aqui:
Como a região é o interior da elipse, temos e .
OBS: se a gente tivesse feito a mudança de variáveis com base na elipse na sua forma geral , a mudança seria diferente, assim como os intervalos de integração e a integral final. Porém, o resultado seria o mesmo!
Passo 3
A integral passa a ser, então:
Passo 4
Agora, vamos levar esses intervalos para a integral:
Passo 5
Integrando en relação a :
Passo 6
Agora em relação a :