Calcule a integral usando a transformação
Onde é a região limitada pela elipse
Passo 1
A questão pede uma mudança de variável qualquer, certo? Vamos começar fazendo ela então! A primeira coisa a se descobrir é o jacobiano dessa mudança, olha só
Depois de calcularmos o jacobiano, vamos ver como fica a região de integração, nesse caso aqui é só substituir tudo em . O símbolo de “menor ou igual” entra porque se trata do interior da elipse, beleza?
Ou seja, o interior de uma circunferência de raio em . Só pra não confundir, vamos chamar essa região em de e não , beleza? Com isso a integral fica
Passo 2
Estamos quase terminando de arrumar a integral pra começar os cálculos, vamos ver essa nossa região em , ela é a circunferência de raio , por isso vamos fazer uma mudança polar, olha como fica
Substituindo tudo na integral
Passo 3
Agora sim! Vamos começar integrando isso aí em
Pra resolver isso aí vamos utilizar um artifício matemático, sabemos que
Jogando isso na integral