USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 2, Questão 5.5a
Calcule a área da região do plano limitada pela elipse .
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que a gente calcule a área da região do plano limitada pela seguinte elipse:
Bom... A área da região limitada pela elipse pode ser calculada usando a integral dupla:
Onde é o domínio da região limitada pela elipse.
Assim, para simplificar nossos cálculos, podemos escolher coordenadas elípticas para simplificar a integral:
Onde varia de a , e varia de a .
O fator multiplica para que o semieixo maior seja na direção , e o fator multiplica para que o semieixo menor seja na direção .
Também devemos ter em mente que a Jacobiana da transformação das coordenadas cartesianas para coordenadas elípticas é:
O que significa que a área em coordenadas elípticas é:
Agora vamos juntos!!
😉
Passo 2
Então... reescrevendo a integral em coordenadas elípticas e resolvendo, temos:
Resolvendo primeiro em relação a :
Aplicando o intervalo de integração e resolvendo em relação a em seguida, temos:
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
