Coordenadas polares
Determine a área delimitada no plano () pela elipse
Passo 1
Bom, vamos começar montando o problema. A questão pede para calcularmos a àrea da elipse genérica . Sendo a região que a elipse limita, podemos escrever:
Certo? Nada demais até aqui.
Passo 2
Agora precisamos escrever matematicamente a região para podermos calcular a integral dupla. Para isso, vamos usar as coordenadas polares, na verdade, um tipo especial de coordenadas polares: as coordenadas elípticas.
O que nós estamos acostumados a ver na mudança para coordenadas polares é o seguinte:
Como nós já vimos, as coordenadas elípticas são muito parecidas com isso, a única diferença é que esses termos vem acompanhados de um coeficiente.
Nós temos a seguinte equação da elipse:
A ideia é “transformá-la” em uma circunferência. Como assim?! Lembra que, nas coordenadas polares, uma circunferência é descrita apenas por , o valor do seu raio? Queremos o mesmo aqui para a elipse. Para isso, precisamos definir:
Pois isso nos dá:
Certo, então é essa a mudança de coordenadas que vamos usar. Bom, como já aprendemos, quando multiplicamos as coordenadas e da nossa transformação por um coeficiente, ele acaba se refletindo no Jacobiano, multiplicando ele. Então, em vez de , temos aqui:
Passo 3
Agora que já definimos a substituição que faremos, vamos analisar os intervalos de integração.
Como temos a elipse completa, uma volta completa no plano
Como o raio varia desde a origem até a equação da elipse, temos
Logo, a região pode ser escrita como:
Passo 4
Vamos, então, montar a integral em coordenadas elípticas:
Não se esqueça do Jacobiano!
Passo 5
Vamos começar integrando em relação a :
Passo 6
Agora em relação a :
Temos, então, o que o problema pediu.