Mostre, usando integral dupla, que a área limitada pela elipse é igual a .

Agora precisamos escrever matematicamente a região para podermos calcular a integral dupla. Para isso, vamos usar as coordenadas polares, na verdade, um tipo especial de coordenadas polares: as coordenadas elípticas.

O que nós estamos acostumados a ver na mudança para coordenadas polares é o seguinte:

Como nós já vimos, as coordenadas elípticas são muito parecidas com isso, a única diferença é que esses termos vem acompanhados de um coeficiente.

Nós temos a seguinte equação da elipse:

A ideia é “transformá-la” em uma circunferência. Como assim?! Lembra que, nas coordenadas polares, uma circunferência é descrita apenas por , o valor do seu raio? Queremos o mesmo aqui para a elipse. Para isso, precisamos definir:

Pois isso nos dá:

Certo, então é essa a mudança de coordenadas que vamos usar. Bom, como já aprendemos, quando multiplicamos as coordenadas e da nossa transformação por um coeficiente, ele acaba se refletindo no Jacobiano, multiplicando ele. Então, em vez de , temos aqui:

Agora que já definimos a substituição que faremos, vamos analisar os intervalos de integração.

Como temos a elipse completa, uma volta completa no plano

Como o raio varia desde a origem até a equação da elipse, temos

Logo, a região pode ser escrita como:

Vamos, então, montar a integral em coordenadas elípticas:

Não se esqueça do Jacobiano!

Vamos começar integrando em relação a :

Agora em relação a :

Demonstramos, então, o que o problema pediu.