Determine se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique.
Seja uma solução não nula de , onde é uma matriz real .
Se então .
Passo 1
Cara, essa afirmação não está correta, porque as soluções são independentes. Porém, precisamos provar. Vamos supor que é uma solução do tipo:
Perceba que:
Passo 2
Só nos resta encontrar um sistema que tenha isso como solução.
Jogando no sistema:
Vamos escrever
Então:
Daí, temos duas equações:
Para isso ser verdade, precisamos que , , ,
Então a nossa sugestão é solução do sistema:
Logo, a afirmação é falsa.
Resposta
Falsa.
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Sejam x = x 1 t , y = y 1 t e x = x 2 t , y = y 2 t duas soluções do sistema linear não-homogêneo x ' = p 11 t x + p 12 t y + g 1 ( t ) ; y ' = p 21 t x + p 22 t y + g 2 ( t ) Mostre que x = x 1 t - x
Considere os vetores x 1 = t 2 2 t e x 2 = e t e t , responda às mesmas perguntas que no Problema 6.
Mostreque os wronskianos de dois conjuntos fundamentais desoluções do sistema (3)podem diferir,no máximo, por uma constante multiplicativa. Sugestão: Use a Eq. (15).
Mostre que a solução geral de x ' = P t x + g ( t ) é a soma de qualquer solução particular x ( p ) dessa equação com a solução geral x ( c ) da equação homogênea associada.
Nesse problema, vamos esquematizar a demonstração doTeorema 7.4.3no caso n=2 . Sejam x ( 1 ) e x ( 2 ) soluções da eq.(3)para αtβ , e seja W o wronskiano de x ( 1 ) e x ( 2 ) .Mostre que d W d t = d x