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Exercícios Resolvidos de Obtenção da Forma Normal e da Matricial

Ver Teoria
Exercício 612345

Enunciado

UnB – Cálculo 2 – Lista de Fixação – Questão 1c

Determine a solução geral das equações diferenciais homogênea

c ) y 4 + 6 y ' ' + 9 y = 0

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá essa equação diferencial ordinária homogênea com coeficientes constantes

y 4 + 6 y ' ' + 9 y = 0 = 0

Para resolvê-la vamos montar a nossa equação característica: só trocar a derivada por um polinômio de mesma ordem e com os mesmos coeficientes, assim

m 4 + 6 m 2 + 9 = 0

m 1 , m 2 , m 3 , m 4 (polinômio de quarta ordem). E agora?

Com as raízes é só montar nossa solução!

y = c 1 e m 1 t + c 2 e m 2 t + c 3 e m 3 t

Beleza? Se encontrarmos raízes reais é só substituir na solução. Caso encontremos alguma raiz complexa, aí temos que fazer uma pequena modificação. Mas vamos ver isso mais para frente!

Ah, mais uma coisa! Como é um problema indefinido, vamos deixar nossa solução em termos das constantes mesmo!

Beleza?

Como é um problema indefinido, vamos deixar nossa solução em termos das constantes mesmo!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Precisamos resolver essa equação aqui

m 4 + 6 m 2 + 9 = 0

É uma equação biquadrada, vamos fazer a substituição y = m 2 e resolver

y 2 + 6 y + 9 = 0 → y + 3 2 = 0

y = - 3

E para m

m = ± 3 i

No nosso caso temos duas raízes complexa, aí podemos transformar uma exponencial complexo em termos de senos e cossenos assim

e a + i b t = e a t cos ⁡ b t + sin ⁡ b t

Com a = 0 ,   b = 3

Temos também que essas duas raízes têm multiplicidade 2 , porque temos que é raiz de uma equação biquadrada. Então além de termos essa solução complexa, precisamos repetir ela multiplicando por t para tirar a multiplicidade da segunda solução.

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora que sabemos as raízes podemos montar nossa solução

y = e a t c 1 cos ⁡ b t + c 2 sin ⁡ b t + t e a t c 3 cos ⁡ b t + c 4 sin ⁡ b t

Temos que a = 0 , b = 3

y = c 1 cos ⁡ 3 t + c 2 sin ⁡ 3 t + t c 3 cos ⁡ 3 t + c 4 sin ⁡ 3 t

Beleza?

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

y = c 1 cos ⁡ 3 t + c 2 sin ⁡ 3 t + t c 3 cos ⁡ 3 t + c 4 sin ⁡ 3 t

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