Escreva, se possível, o sistema dado na forma normal.
Passo 1
A forma normal de uma EDO é essa forma como o enunciado apresentou a EDO, com o sistema e as derivadas de segunda ordem no mesmo lado. Agora, vamos escrever cada equação em função de somente uma derivada de segunda ordem.
Para fazermos isso, é como se nós estivéssemos resolvendo um simples sisteminha de equações para as variáveis e .
Resolvendo esse “sisteminha” isolando os termos e , ficamos com o seguinte sistema:
Passo 2
Chamando cada derivada de primeira ordem de uma nova variável.
Derivando as equações em função de
Passo 3
Como já escrevemos as derivadas em função das nossas novas variáveis podemos montar o sistema na forma normal.
Resposta
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Sejam x = x 1 t , y = y 1 t e x = x 2 t , y = y 2 t duas soluções do sistema linear não-homogêneo x ' = p 11 t x + p 12 t y + g 1 ( t ) ; y ' = p 21 t x + p 22 t y + g 2 ( t ) Mostre que x = x 1 t - x
Considere os vetores x 1 = t 2 2 t e x 2 = e t e t , responda às mesmas perguntas que no Problema 6.
Mostreque os wronskianos de dois conjuntos fundamentais desoluções do sistema (3)podem diferir,no máximo, por uma constante multiplicativa. Sugestão: Use a Eq. (15).
Mostre que a solução geral de x ' = P t x + g ( t ) é a soma de qualquer solução particular x ( p ) dessa equação com a solução geral x ( c ) da equação homogênea associada.
Nesse problema, vamos esquematizar a demonstração doTeorema 7.4.3no caso n=2 . Sejam x ( 1 ) e x ( 2 ) soluções da eq.(3)para αtβ , e seja W o wronskiano de x ( 1 ) e x ( 2 ) .Mostre que d W d t = d x