Exercícios Resolvidos de Operações Elementares e Escalonamento

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Enunciado

Reduza a matriz a sua forma escalonada reduzida:

3 2 - 1 2 - 2 4 1 1 / 2 - 1

Passo 1

Shoow galerinha, agora nós vamos escalonar esta matriz que o problema nos deu até sua forma reduzida, ou seja, nós queremos algo com essa cara aí:

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Isso quer dizer que a diagonal deve ser composta pelos valores 1, que chamamos de pivôs ! E os demais devem ser zero !!

Bom galerinha, ali na primeira coluna nós precisamos que apareça o número 1 ao invés do 3, então nós vamos manipular esta linha de modo que este 1 apareça !!

Olhem só, na terceira linha nós temos o 1 bem aonde queríamos, então vamos simplesmente trocar de lugar as linhas 1 e 3:

L 1 = L 3

L 3 = L 1

Então:

3 2 - 1 2 - 2 4 1 1 / 2 - 1 → 1 1 / 2 - 1 2 - 2 4 3 2 - 1

Agora nós precisamos trasnformar tudo que está abaixo do 1 em 0. Pensem comigo, se eu fizer as seguintes operações:

L 2 = L 2 - 2 L 1

L 3 = L 3 - 3 L 1

Então:

1 1 2 - 1 2 - 2 1 - 2 - 2   .   ( 1 2 ) 4 - 2 - 1 3 - 3 1 2 - 3   .   ( 1 2 ) - 1 - 3 - 1

Para fazer aquela continha com fração que apareceu na linha 3, a gente faz o seguinte:

2 - 3 . 1 2 =   2 .   2 - 3 2 =   4 - 3 2 =   1 2

Nossa matriz fica com essa carinha aqui:

1 1 2 - 1 0 - 3 6 0 1 2 2

Shooow !! Agora nós precisamos transformar este -3 ali em 1, não é? E aí ?

Vocês podem fazer qualquer operação, contanto que o 1 apareça e que você não tire os zeros que vocês acabou de achar!!

Eu pensei na seguinte:

L 2 = - L 2 3

Sendo assim:

1 1 2 - 1 - 0 3 - - 3 3 - 6 3 0 1 2 2 = 1 1 2 - 1 0 1 - 2 0 1 2 2

Para termos uma matriz reduzida nós precisamos transformar em zero os numeros acima e abaixo do pivô, 1, certo?

Então vamos pensar aqui em novas operações:

L 1 = L 1 - L 2 2

L 3 = L 3 - L 2 2

Então:

1 - 0 2 1 2 - 1 2 - 1 - - 2 2 0 1 - 2 0 - 0 2 1 2 - 1 2 2 - - 2 2 = 1 0 0 0 1 - 2 0 0 3

Agora é a vez do 3 ser transformado em pivô, né verdade?

E temos um jeito bem fácil pra isso:

L 3 = L 3 3

Então:

1 0 0 0 1 - 2 0 3 0 3 3 3 = 1 0 0 0 1 - 2 0 0 1

Quase lá!!! Para finalizar esta aqui vamos tranformar este -2 aí em 0:

L 2 = L 2 + 2 L 3

E assim:

1 0 0 0 + 2 0 1 + 2 0 - 2 + 2 1 0 0 1 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Sucessooooo !! Chegamos ao fim de mais umaa !!

Resposta

1 0 0 0 1 0 0 0 1