Exercícios Resolvidos de Otimização

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Enunciado

Se 1.200   c m 2 de material estiverem disponíveis para fazer uma caixa com uma base quadrada e sem tampa, encontre o maior volume possível da caixa.

(a) 4000   c m 3

(b) 3500   c m 3

(c) 5000   c m 3

(d) 4500   c m 3

(e) Nenhume das alternativas

Passo 1

E aí, tudo bem?

Já que a base é quadrada, queremos uma caixa mais ou menos assim:

O enunciado também nos deu que estão disponíveis 1200   c m 2 de material para fazer essa caixa.

A nossa restrição então é que a área total dela é 1200.

Vamos colocar em linguagem matemática...

Passo 2

A área total dessa caixa é dada pela soma das áreas de cada pedacinho.

Temos a base, que é:

A b = l 2

E temos 4 laterais retangulares, medindo l   por h , ou seja:

A l = 4 ∙ l ∙ h

A área total vai ser a soma da área da base mais as 4 áreas laterais. Então ela será dada por:

A t = l 2 + 4 l h

E como a área total é 1200, temos:

l 2 + 4 l h = 1200

Ok, segura isso por enquanto!

Passo 3

Vamos lá, a gente quer encontrar o maior volume possível pra caixa, dentro da condição que a gente viu ali em cima.

O volume da caixa (que é um paralelepípedo) é calculado assim:

V = l ⋅ l ⋅ h

V = l 2 ⋅ h

Vamos colocar isso em função de uma variável só usando a condição que achamos ali em cima.

Passo 4

A gente pode isolar o h nessa expressão aqui pra deixar em função de l :

l 2 + 4 l h = 1200

4 l h = 1200 - l 2

h = 1200 - l 2 4 l

Vamos substituir na fórmula do volume agora:

V = l 2 1200 - l 2 4 l

V ( l ) = 1200 l 2 - l 4 4 l

Simplificando o l :

V ( l ) = 1200 l - l 3 4

Passo 5

Beleza, agora que temos a função a ser maximizada em termos de uma variável só. Podemos partir para a derivada:

V ' l = 1 4 ∙ ( 1200 - 3 l 2 )

Agora, vamos igualar a zero para encontrar os pontos críticos:

1 4 ∙ ( 1200 - 3 l 2 ) = 0

1200 - 3 l 2 = 0

1200 = 3 l 2

l 2 = 1200 3 = 400

l = 400 = ± 20   c m

Como estamos falando de medidas, ficamos só com o valor positivo l = 20 c m .

Passo 6

Ok, agora é só acharmos o valor de h que acompanha esse l e depois calcular o volume!

h = 1200 - l 2 4 l

h = 1200 - 20 2 4 ∙ 20

h = 1200 - 400 80

h = 800 80 = 10   c m

E então o volume máximo possível é:

V = l 2 h

V = 20 2 ∙ 10 = 400 ∙ 10

V = 4000   c m 3

Alternativa (a) 😊

Resposta

L e t r a   ( a ) .